Номер 38.9, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.9. На рисунке 38.14 изображены графики производных функций $f$, $g$ и $h$, дифференцируемых на $R$. Какая из функций $f$, $g$ и $h$ убывает на $R$?

Рис. 38.14

$y = f'(x)$

$y = g'(x)$

$y = h'(x)$

Для того чтобы дифференцируемая функция убывала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы её производная была неположительной для всех действительных чисел $x$, то есть $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Проанализируем графики производных для каждой из функций.

Функция f

На графике видно, что кривая $y=f'(x)$ полностью находится выше оси абсцисс. Это означает, что для любого действительного числа $x$ производная функции $f$ строго положительна: $f'(x) > 0$. По признаку монотонности функции, если производная положительна на интервале, то функция на этом интервале возрастает. Следовательно, функция $f$ возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Функция g

На графике видно, что кривая $y=g'(x)$ находится ниже оси абсцисс для всех $x \neq 0$ и касается её в точке $x=0$. Это означает, что производная функции $g$ отрицательна для всех $x$, кроме нуля, где она равна нулю: $g'(x) < 0$ при $x \ne 0$ и $g'(0) = 0$. Таким образом, для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется условие $g'(x) \le 0$. По признаку монотонности функции, если производная неположительна на интервале, то функция на этом интервале убывает. Следовательно, функция $g$ убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Функция h

На графике видно, что кривая $y=h'(x)$ пересекает ось абсцисс. Для значений $x$ слева от точки пересечения, график лежит выше оси, что означает $h'(x) > 0$. Для значений $x$ справа от точки пересечения, график лежит ниже оси, что означает $h'(x) < 0$. Поскольку производная $h'(x)$ принимает значения разных знаков, функция $h$ имеет как промежутки возрастания, так и промежутки убывания. Следовательно, она не убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Таким образом, единственная функция, которая убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, это функция $g$.

Ответ: функция $g$.