Страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.5. На рисунке 38.9 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $\mathbb{R}$. Укажите промежутки убывания функции $f$.

Рис. 38.9

$y \uparrow$ $y = f'(x)$

$x_1$ $0$ $x_2$ $x_3$ $x$

Для того чтобы найти промежутки убывания функции $f(x)$, необходимо определить интервалы, на которых её производная $f'(x)$ является неположительной, то есть $f'(x) \le 0$.

На рисунке представлен график производной $y = f'(x)$. Промежутки убывания исходной функции $f(x)$ соответствуют тем значениям $x$, для которых график производной $f'(x)$ находится ниже или на оси абсцисс (оси $Ox$).

Проанализируем предоставленный график $y = f'(x)$. Мы видим, что график расположен на оси $Ox$ или ниже нее на следующих участках:

1. На промежутке $(-\infty, x_1]$. На интервале $(-\infty, x_1)$ значения производной отрицательны ($f'(x) < 0$), а в точке $x=x_1$ производная равна нулю ($f'(x_1) = 0$).

2. На отрезке $[x_2, x_3]$. На интервале $(x_2, x_3)$ значения производной отрицательны ($f'(x) < 0$), а в точках $x=x_2$ и $x=x_3$ производная равна нулю ($f'(x_2) = 0$ и $f'(x_3) = 0$).

Следовательно, на промежутках $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$ функция $f(x)$ убывает.

Ответ: $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$.

38.6. На рисунке 38.10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на $\mathbf{R}$. Среди приведённых на рисунке 38.11 графиков укажите тот, который может быть графиком функции $y = f'(x)$.

Рис. 38.9

$y = f'(x)$, $x_1$, $0$, $x_2$, $x_3$

Рис. 38.10

$y = f(x)$, $0$

Рис. 38.11

a, б, в, г

Чтобы определить, какой из графиков на рисунке 38.11 может быть графиком производной $y = f'(x)$ для функции $y = f(x)$, изображенной на рисунке 38.10, проанализируем свойства функции $f(x)$ и ее производной.

На графике функции $y = f(x)$ (рис. 38.10) мы видим параболу, ветви которой направлены вниз. Эта функция возрастает до своей вершины (точки максимума), а затем убывает. Обозначим абсциссу точки максимума как $x_{max}$. Из графика видно, что вершина параболы находится в первой координатной четверти, а значит, $x_{max} > 0$.

Вспомним геометрический смысл производной. На интервале, где функция $f(x)$ возрастает (при $x < x_{max}$), ее производная $f'(x)$ должна быть положительной ($f'(x) > 0$). На интервале, где функция $f(x)$ убывает (при $x > x_{max}$), ее производная $f'(x)$ должна быть отрицательной ($f'(x) < 0$). В самой точке максимума $x = x_{max}$ касательная к графику горизонтальна, следовательно, производная в этой точке равна нулю: $f'(x_{max}) = 0$.

Таким образом, график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось абсцисс ($Ox$) в точке $x = x_{max} > 0$. Слева от этой точки график $y=f'(x)$ должен находиться выше оси $Ox$, а справа — ниже.

Кроме того, исходная функция $f(x)$ является квадратичной (ее график — парабола). Производная квадратичной функции вида $f(x) = ax^2 + bx + c$ является линейной функцией $f'(x) = 2ax + b$. Поскольку ветви параболы $f(x)$ направлены вниз, коэффициент при старшем члене $a$ отрицателен ($a < 0$). Следовательно, угловой коэффициент производной, равный $2a$, также отрицателен. Это означает, что график производной $y = f'(x)$ — это убывающая прямая линия.

Теперь сопоставим эти выводы с графиками на рисунке 38.11.
График а изображает возрастающую функцию, что противоречит нашему выводу.
График б изображает убывающую функцию, но она пересекает ось $Ox$ в точке $x = 0$. Это означало бы, что максимум исходной функции находится в $x=0$, что неверно.
График в изображает убывающую прямую, которая пересекает ось $Ox$ в точке $x > 0$. Этот график полностью соответствует всем нашим выводам: это убывающая прямая, которая положительна до точки пересечения с осью $Ox$ и отрицательна после нее.
График г изображает параболу, а не прямую, что также противоречит выводу о том, что производная квадратичной функции является линейной.

Следовательно, единственным подходящим графиком является график в.

Ответ: в.

38.7. На рисунке 38.12 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки возрастания функции $f$.

38.7.

Функция $f(x)$ возрастает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$.

На рисунке 38.12 представлен график функции $y = f'(x)$. Нам нужно найти промежутки, на которых этот график расположен не ниже оси абсцисс (оси $x$).

Из графика видно, что график производной пересекает ось $x$ в точках $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках значение производной равно нулю: $f'(-2) = 0$ и $f'(2) = 0$.

График функции $f'(x)$ находится выше оси $x$, то есть $f'(x) > 0$, на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.

Следовательно, условие $f'(x) \ge 0$ выполняется для всех $x$ из промежутков $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$. Это и есть промежутки возрастания функции $f(x)$.

Ответ: $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.

38.8. На рисунке 38.13 изображены графики производных функций $f$, $g$ и $h$, дифференцируемых на $\mathbf{R}$. Какая из функций $f$, $g$ и $h$ убывает на отрезке $[-1; 1]$?

Рис. 38.13

$y = f'(x)$

$y = g'(x)$

$y = h'(x)$

Для того чтобы определить, какая из функций $f$, $g$ или $h$ убывает на отрезке $[-1; 1]$, необходимо проанализировать знаки их производных на этом отрезке.

Функция является убывающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке неположительна (то есть $y'(x) \leq 0$), причем производная может быть равна нулю лишь в отдельных точках. Это означает, что мы ищем тот график производной, который на всем отрезке $[-1; 1]$ находится ниже оси абсцисс ($x$) или касается ее.

Рассмотрим каждый случай:

• Функция f: На графике производной $y = f'(x)$ видно, что для всех $x$ из отрезка $[-1; 1]$ кривая находится под осью $x$ или на ней. В точках $x = -1$ и $x = 1$ значение производной равно нулю, а на интервале $(-1; 1)$ значения производной отрицательны. Таким образом, на всем отрезке $[-1; 1]$ выполняется условие $f'(x) \leq 0$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом отрезке.
• Функция g: На графике производной $y = g'(x)$ видно, что для всех $x$ из отрезка $[-1; 1]$ кривая находится над осью $x$ или на ней. Это означает, что $g'(x) \geq 0$ на данном отрезке. Следовательно, функция $g(x)$ возрастает на отрезке $[-1; 1]$.
• Функция h: На графике производной $y = h'(x)$ видно, что на промежутке $[-1; 0)$ значения производной положительны ($h'(x) > 0$), а на промежутке $(0; 1]$ — отрицательны ($h'(x) < 0$). Поскольку производная меняет знак на отрезке $[-1; 1]$, функция $h(x)$ не является монотонно убывающей на всем этом отрезке. Она возрастает на $[-1; 0]$ и убывает на $[0; 1]$.

Таким образом, единственной функцией, которая убывает на всем отрезке $[-1; 1]$, является функция $f$.

Ответ: функция $f$.

38.9. На рисунке 38.14 изображены графики производных функций $f$, $g$ и $h$, дифференцируемых на $R$. Какая из функций $f$, $g$ и $h$ убывает на $R$?

Рис. 38.14

$y = f'(x)$

$y = g'(x)$

$y = h'(x)$

Для того чтобы дифференцируемая функция убывала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы её производная была неположительной для всех действительных чисел $x$, то есть $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Проанализируем графики производных для каждой из функций.

Функция f

На графике видно, что кривая $y=f'(x)$ полностью находится выше оси абсцисс. Это означает, что для любого действительного числа $x$ производная функции $f$ строго положительна: $f'(x) > 0$. По признаку монотонности функции, если производная положительна на интервале, то функция на этом интервале возрастает. Следовательно, функция $f$ возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Функция g

На графике видно, что кривая $y=g'(x)$ находится ниже оси абсцисс для всех $x \neq 0$ и касается её в точке $x=0$. Это означает, что производная функции $g$ отрицательна для всех $x$, кроме нуля, где она равна нулю: $g'(x) < 0$ при $x \ne 0$ и $g'(0) = 0$. Таким образом, для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется условие $g'(x) \le 0$. По признаку монотонности функции, если производная неположительна на интервале, то функция на этом интервале убывает. Следовательно, функция $g$ убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Функция h

На графике видно, что кривая $y=h'(x)$ пересекает ось абсцисс. Для значений $x$ слева от точки пересечения, график лежит выше оси, что означает $h'(x) > 0$. Для значений $x$ справа от точки пересечения, график лежит ниже оси, что означает $h'(x) < 0$. Поскольку производная $h'(x)$ принимает значения разных знаков, функция $h$ имеет как промежутки возрастания, так и промежутки убывания. Следовательно, она не убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Таким образом, единственная функция, которая убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, это функция $g$.

Ответ: функция $g$.