Страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте:

1) признак постоянства функции;

2) признак возрастания функции;

3) признак убывания функции.

1) признак постоянства функции

Признак постоянства функции (также известный как теорема о постоянстве функции) устанавливает достаточное условие, при котором функция сохраняет одно и то же значение на всем промежутке.

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема на некотором промежутке $I$ и ее производная $f'(x)$ равна нулю для всех $x$ из этого промежутка, то функция $f(x)$ является постоянной на промежутке $I$.

Иными словами, если для любого $x \in I$ выполняется равенство $f'(x) = 0$, то существует такое число $C$ (константа), что $f(x) = C$ для любого $x \in I$.

Этот признак является следствием теоремы Лагранжа о среднем значении.

Ответ: Если производная функции $f(x)$ равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция постоянна на данном промежутке.

2) признак возрастания функции

Признак возрастания функции — это достаточное условие, которое позволяет по знаку производной сделать вывод о том, что функция возрастает на промежутке.

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема на некотором промежутке $I$ и ее производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из этого промежутка ($f'(x) > 0$), то функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $I$.

Строгое возрастание означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Примечание: Если на промежутке $I$ выполняется условие $f'(x) \ge 0$, то функция является неубывающей. Функция будет строго возрастать, если точки, в которых $f'(x) = 0$, не образуют сплошного интервала.

Ответ: Если производная функции $f(x)$ положительна в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция строго возрастает на данном промежутке.

3) признак убывания функции

Признак убывания функции, аналогично признаку возрастания, является достаточным условием для установления факта убывания функции на промежутке.

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема на некотором промежутке $I$ и ее производная $f'(x)$ отрицательна для всех $x$ из этого промежутка ($f'(x) < 0$), то функция $f(x)$ строго убывает на промежутке $I$.

Строгое убывание означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Примечание: Если на промежутке $I$ выполняется условие $f'(x) \le 0$, то функция является невозрастающей. Функция будет строго убывать, если точки, в которых $f'(x) = 0$, не образуют сплошного интервала.

Ответ: Если производная функции $f(x)$ отрицательна в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция строго убывает на данном промежутке.

38.1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^2 + 4x - 7;$

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1;$

3) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x;$

4) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3;$

5) $f(x) = x^3 + 4x - 8;$

6) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9.$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную. Промежутки, на которых производная положительна ($f'(x) > 0$), являются промежутками возрастания функции. Промежутки, на которых производная отрицательна ($f'(x) < 0$), являются промежутками убывания функции. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

1) $f(x) = x^2 + 4x - 7$

Сначала находим производную функции: $f'(x) = (x^2 + 4x - 7)' = 2x + 4$.

Далее, находим критические точки, приравняв производную к нулю: $2x + 4 = 0$ $2x = -4$ $x = -2$

Критическая точка $x = -2$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

• При $x < -2$ (например, при $x = -3$), $f'(-3) = 2(-3) + 4 = -2 < 0$. Значит, на промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает.
• При $x > -2$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 2(0) + 4 = 4 > 0$. Значит, на промежутке $[-2; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$

Находим производную функции: $f'(x) = (2x^3 - 3x^2 + 1)' = 6x^2 - 6x$.

Находим критические точки: $6x^2 - 6x = 0$ $6x(x - 1) = 0$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0.5$), $f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 2$), $f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 1]$.

3) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x$

Находим производную функции: $f'(x) = (-x^3 + 9x^2 + 21x)' = -3x^2 + 18x + 21$.

Находим критические точки: $-3x^2 + 18x + 21 = 0$ Делим уравнение на -3: $x^2 - 6x - 7 = 0$ По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$. График производной $f'(x)$ — парабола с ветвями вниз.

• При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 7)$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (7; +\infty)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 7]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[7; +\infty)$.

4) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

Находим производную функции: $f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

Находим критические точки: $4x^3 - 4x = 0$ $4x(x^2 - 1) = 0$ $4x(x - 1)(x + 1) = 0$ Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x = -2$), $f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 0)$ (например, $x = -0.5$), $f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0.5$), $f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 2$), $f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

5) $f(x) = x^3 + 4x - 8$

Находим производную функции: $f'(x) = (x^3 + 4x - 8)' = 3x^2 + 4$.

Попытаемся найти критические точки: $3x^2 + 4 = 0$ $3x^2 = -4$ Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \geq 0$), а значит $3x^2 + 4 \geq 4$.

Поскольку производная $f'(x) = 3x^2 + 4$ всегда положительна при любом значении $x$, критических точек нет, и функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

6) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9$

Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 8x + 9)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 8 = x^3 - 8$.

Находим критические точки: $x^3 - 8 = 0$ $x^3 = 8$ $x = 2$

Критическая точка $x = 2$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x < 2$ (например, $x=0$), $f'(0) = 0^3 - 8 = -8 < 0$. Функция убывает.
• При $x > 2$ (например, $x=3$), $f'(3) = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

38.2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 5;$

2) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x;$

3) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1;$

4) $f(x) = x^4 + 4x - 20.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^2 + 6x - 5)' = -2x + 6$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x + 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$.
4. Критическая точка $x=3$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.
- На промежутке $(-\infty; 3)$, возьмем пробную точку $x=0$. $f'(0) = -2(0) + 6 = 6$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает на этом промежутке.
- На промежутке $(3; +\infty)$, возьмем пробную точку $x=4$. $f'(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает на этом промежутке.
Поскольку функция непрерывна в точке $x=3$, ее можно включить в промежутки монотонности.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty; 3]$; промежуток убывания: $[3; +\infty)$.

2) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
4. Критические точки $x=-3$ и $x=1$ делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. Производная $f'(x) = 3(x+3)(x-1)$ представляет собой параболу с ветвями вверх.
- На промежутке $(-\infty; -3)$, возьмем $x=-4$: $f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Функция возрастает.
- На промежутке $(-3; 1)$, возьмем $x=0$: $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(1; +\infty)$, возьмем $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Функция возрастает.
Включаем концы промежутков, так как функция непрерывна.
Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$; промежуток убывания: $[-3; 1]$.

3) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
4. Критические точки делят числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них методом интервалов.
- На промежутке $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $f'(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(-2; 0)$, возьмем $x=-1$: $f'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- На промежутке $(0; 2)$, возьмем $x=1$: $f'(1) = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $f'(3) = (3)^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 > 0$. Функция возрастает.
Включаем концы промежутков, так как функция непрерывна.
Ответ: промежутки возрастания: $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.

4) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^4 + 4x - 20$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 4x - 20)' = 4x^3 + 4$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 + 4 = 0$
$x^3 + 1 = 0$
$x^3 = -1$
$x = -1$.
4. Критическая точка $x=-1$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
- На промежутке $(-\infty; -1)$, возьмем $x=-2$: $f'(-2) = 4(-2)^3 + 4 = 4(-8) + 4 = -32 + 4 = -28 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(-1; +\infty)$, возьмем $x=0$: $f'(0) = 4(0)^3 + 4 = 4 > 0$. Функция возрастает.
Включаем концы промежутков, так как функция непрерывна.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty; -1]$; промежуток возрастания: $[-1; +\infty)$.

38.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7;$

3) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x};$

4) $f(x) = x + \frac{9}{x};$

5) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x};$

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}.$

1) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1)' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 12x^2 + 8x = 0$

$4x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$4x(x-1)(x-2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

4. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на каждом из них, подставляя любое значение из промежутка в $f'(x)$:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(0, 1)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• На промежутке $(1, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(2, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 1]$ и $[2, +\infty)$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, 2]$.

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^3 - x^2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

4. Определим знак производной на промежутках, на которые числовую прямую делят критические точки:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(0, 1)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(1, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ знак производной не меняется, поэтому функция продолжает убывать через эту точку.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

3) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ равносильно уравнению $2x^3 - 2 = 0$, откуда $x^3 = 1$ и $x = 1$. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $2(x^3 - 1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• На промежутке $(-\infty, 0)$, $x^3 - 1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(0, 1)$, $x^3 - 1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(1, +\infty)$, $x^3 - 1 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$.

4) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = (x + 9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ равносильно $x^2 - 9 = 0$, откуда $x = \pm 3$. Производная не определена в точке разрыва $x=0$.

4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

• На промежутке $(-\infty, -3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На промежутке $(-3, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(0, 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(3, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$; убывает на промежутках $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.

5) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}$

1. Область определения функции: $3-x \neq 0$, то есть $x \neq 3$. $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. Функцию можно переписать в виде $f(x) = \frac{(x-1)^2}{3-x}$.

2. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{( (x-1)^2 )' (3-x) - (x-1)^2 (3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{2(x-1)(1)(3-x) - (x-1)^2(-1)}{(3-x)^2}$

$f'(x) = \frac{(x-1) [2(3-x) + (x-1)]}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(6-2x+x-1)}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(5-x)}{(3-x)^2}$.

3. Найдем критические точки из условия $f'(x)=0$. Это происходит, когда числитель равен нулю: $(x-1)(5-x)=0$. Критические точки: $x_1=1$, $x_2=5$. Точка $x=3$ — точка разрыва.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(3-x)^2$ всегда положителен в области определения. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $(x-1)(5-x)$. График этого выражения — парабола с ветвями, направленными вниз.

• На промежутке $(-\infty, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутках $(1, 3)$ и $(3, 5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На промежутке $(5, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[1, 3)$ и $(3, 5]$; убывает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty]$.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$

1. Область определения функции: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(x)'(x^2-9) - x(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-9) - x \cdot (2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{x^2-9-2x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0$ равносильно $-x^2-9=0$ или $x^2=-9$. Это уравнение не имеет действительных корней. Производная не определена в точках $x=\pm 3$, которые являются точками разрыва функции.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = -\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}$.

Числитель $x^2+9$ всегда положителен. Знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения. Знак минус перед дробью делает всю производную отрицательной на всей области определения.

Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из $D(f)$.

Ответ: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$.

38.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4;$

2) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4;$

3) $f(x) = \frac{2x - 9}{x - 5};$

4) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4};$

5) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2};$

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}.$

1) $f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

$f'(x) = (3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4)' = 12x^3 - 60x^2 + 72x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$12x^3 - 60x^2 + 72x = 0$

$12x(x^2 - 5x + 6) = 0$

$12x(x-2)(x-3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак производной на каждом из них:

На интервале $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(0, 2)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(2, 3)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(3, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 2]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, 3]$.

2) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную:

$f'(x) = (9 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$12x^2 - 4x^3 = 0$

$4x^2(3 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$:

На интервале $(-\infty, 0)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.

На интервале $(0, 3)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.

На интервале $(3, +\infty)$ $f'(x) < 0$, функция убывает.

Поскольку в точке $x=0$ знак производной не меняется, промежутки возрастания можно объединить.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$, убывает на промежутке $[3, +\infty)$.

3) $f(x) = \frac{2x - 9}{x - 5}$

Область определения функции: $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. $D(f) = (-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$.

Найдем производную по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(2x-9)'(x-5) - (2x-9)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{2(x-5) - (2x-9)(1)}{(x-5)^2} = \frac{2x - 10 - 2x + 9}{(x-5)^2} = \frac{-1}{(x-5)^2}$.

Знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \neq 5$, а числитель равен -1. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения.

Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 5)$ и $(5, +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$

Область определения: $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. $D(f) = (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(x^2+5x)'(x-4) - (x^2+5x)(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{(2x+5)(x-4) - (x^2+5x)}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x-4)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв числитель производной к нулю:

$x^2 - 8x - 20 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 10$.

Знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $g(x)=x^2 - 8x - 20 = (x+2)(x-10)$, так как знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен.

На интервале $(-\infty, -2)$ $g(x) > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

На интервалах $(-2, 4)$ и $(4, 10)$ $g(x) < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

На интервале $(10, +\infty)$ $g(x) > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[10, +\infty)$, убывает на промежутках $[-2, 4)$ и $(4, 10]$.

5) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$

Область определения: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную: $f(x) = 3x + 12x^{-2}$.

$f'(x) = 3 - 24x^{-3} = 3 - \frac{24}{x^3} = \frac{3x^3 - 24}{x^3}$.

Найдем критические точки из $f'(x) = 0$:

$3x^3 - 24 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.

Точка разрыва $x=0$ и критическая точка $x=2$ делят область определения на интервалы. Определим знак производной:

На интервале $(-\infty, 0)$ $f'(x) = \frac{3(x^3 - 8)}{x^3} > 0$ (отношение двух отрицательных чисел), функция возрастает.

На интервале $(0, 2)$ $f'(x) < 0$ (числитель отрицательный, знаменатель положительный), функция убывает.

На интервале $(2, +\infty)$ $f'(x) > 0$ (отношение двух положительных чисел), функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $(0, 2]$.

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$

Область определения: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-4) - x^2(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.

Найдем критические точки из $f'(x) = 0$:

$-8x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $-8x$.

На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0)$ $-8x > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

На интервалах $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$ $-8x < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0]$, убывает на промежутках $[0, 2)$ и $(2, +\infty)$.