Страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.21. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Для того чтобы найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, нам необходимо сначала составить уравнение этой касательной. Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^2 - 4$ и точка касания $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$k = f'(x_0) = f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

4. Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=0$, $f'(x_0)=-4$ и $x_0=-2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-4)(x - (-2))$

$y = -4(x + 2)$

$y = -4x - 8$.

Мы получили уравнение касательной. Теперь найдем точки, в которых эта прямая пересекает оси координат. Эти точки, вместе с началом координат, образуют искомый треугольник.

5. Найдем точку пересечения касательной с осью ординат (Oy). Для этого приравняем $x$ к нулю:

$y = -4 \cdot 0 - 8 = -8$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -8)$.

6. Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс (Ox). Для этого приравняем $y$ к нулю:

$0 = -4x - 8$

$4x = -8$

$x = -2$.

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-2, 0)$.

Треугольник, образованный осями координат и касательной, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, -8)$. Катеты этого треугольника лежат на осях координат, и их длины равны модулям ненулевых координат точек пересечения.

Длина катета на оси Ox равна $|-2| = 2$.

Длина катета на оси Oy равна $|-8| = 8$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.

Ответ: 8.

37.22. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
2. Найти точки пересечения этой касательной с осями координат ($Ox$ и $Oy$).
3. Вычислить площадь треугольника, образованного этими точками и началом координат.

1. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Дана функция $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:
$f(x_0) = f(1) = 1^3 + 1^2 - 6(1) + 1 = 1 + 1 - 6 + 1 = -3$.
Точка касания имеет координаты $(1, -3)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x^2 - 6x + 1)' = 3x^2 + 2x - 6$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.
$f'(x_0) = f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 6 = 3 + 2 - 6 = -1$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=-3$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = -3 + (-1)(x - 1)$
$y = -3 - x + 1$
$y = -x - 2$.
Это и есть уравнение искомой касательной.

2. Нахождение точек пересечения касательной с осями координат

Касательная $y = -x - 2$ образует треугольник с осями координат. Найдем точки, в которых она пересекает эти оси.

Пересечение с осью ординат ($Oy$): для этого подставим $x=0$ в уравнение касательной.
$y = -0 - 2 = -2$.
Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, -2)$.

Пересечение с осью абсцисс ($Ox$): для этого подставим $y=0$ в уравнение касательной.
$0 = -x - 2$
$x = -2$.
Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-2, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.
Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения (то есть длинам отрезков, которые касательная отсекает на осях координат).
Длина катета на оси $Ox$ равна $|-2| = 2$.
Длина катета на оси $Oy$ равна $|-2| = 2$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $2$.

37.23. Решите неравенство:

1) $x^2 + x - 12 > 0;$

2) $x^2 - 3x - 10 \le 0;$

3) $6x - x^2 \ge 0;$

4) $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0;$

5) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0;$

6) $(x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6 > 0.$

1) Решим неравенство $x^2 + x - 12 > 0$.

Для начала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + 4)(x - 3) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -4$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; \infty)$.

2) Решим неравенство $x^2 - 3x - 10 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + 2)(x - 5) \le 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-2 \le x \le 5$.

Ответ: $x \in [-2; 5]$.

3) Решим неравенство $6x - x^2 \ge 0$.

Перепишем неравенство в стандартном виде: $-x^2 + 6x \ge 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x \le 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения $x(x - 6) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [0; 6]$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель. Для числителя $x^2 + 10x + 9 = 0$ корни $x_1 = -9, x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 + 10x + 9 = (x+9)(x+1)$.

Для знаменателя $x^2 - 4x + 3 = 0$ корни $x_1 = 1, x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+9)(x+1)}{(x-1)(x-3)} < 0$.

Область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой нули числителя ($x = -9, x = -1$) и нули знаменателя ($x = 1, x = 3$). Эти точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$, $(3; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$.
• При $-9 < x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.
• При $x < -9$ (например, $x=-10$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-9; -1)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (-9; -1) \cup (1; 3)$.

5) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$. Знаменатель: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2} \le 0$.

Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$ и равен нулю при $x=3$. Так как деление на ноль невозможно, $x \neq 3$.

При $x \neq 3$ знаменатель положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя. Решаем неравенство $(x-1)(x-4) \le 0$.

Это парабола с ветвями вверх, ее значения не положительны на отрезке между корнями $x=1$ и $x=4$. То есть, $x \in [1; 4]$.

Учитывая ограничение $x \neq 3$, получаем решение: $x \in [1; 3) \cup (3; 4]$.

Ответ: $x \in [1; 3) \cup (3; 4]$.

6) Решим неравенство $(x + 1)^3 (x - 1)^2 (x - 3)^6 > 0$.

Применим метод интервалов. Найдем корни и их кратность:

• $x = -1$ (кратность 3, нечетная)
• $x = 1$ (кратность 2, четная)
• $x = 3$ (кратность 6, четная)

Неравенство строгое, поэтому все корни не входят в решение.

Точки -1, 1, 3 разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак на крайнем правом интервале $(3; \infty)$. Возьмем $x=4$: $(4+1)^3(4-1)^2(4-3)^6 > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.

• Интервал $(1; 3)$: переходим через $x=3$ (четная кратность), знак сохраняется – «+».
• Интервал $(-1; 1)$: переходим через $x=1$ (четная кратность), знак сохраняется – «+».
• Интервал $(-\infty; -1)$: переходим через $x=-1$ (нечетная кратность), знак меняется – «-».

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем $x > -1$, при этом $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (1; 3) \cup (3; \infty)$.