Номер 37.23, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.23. Решите неравенство:

1) $x^2 + x - 12 > 0;$

2) $x^2 - 3x - 10 \le 0;$

3) $6x - x^2 \ge 0;$

4) $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0;$

5) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0;$

6) $(x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6 > 0.$

1) Решим неравенство $x^2 + x - 12 > 0$.

Для начала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + 4)(x - 3) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -4$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; \infty)$.

2) Решим неравенство $x^2 - 3x - 10 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + 2)(x - 5) \le 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-2 \le x \le 5$.

Ответ: $x \in [-2; 5]$.

3) Решим неравенство $6x - x^2 \ge 0$.

Перепишем неравенство в стандартном виде: $-x^2 + 6x \ge 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x \le 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения $x(x - 6) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [0; 6]$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель. Для числителя $x^2 + 10x + 9 = 0$ корни $x_1 = -9, x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 + 10x + 9 = (x+9)(x+1)$.

Для знаменателя $x^2 - 4x + 3 = 0$ корни $x_1 = 1, x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+9)(x+1)}{(x-1)(x-3)} < 0$.

Область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой нули числителя ($x = -9, x = -1$) и нули знаменателя ($x = 1, x = 3$). Эти точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$, $(3; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$.
• При $-9 < x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.
• При $x < -9$ (например, $x=-10$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-9; -1)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (-9; -1) \cup (1; 3)$.

5) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$. Знаменатель: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2} \le 0$.

Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$ и равен нулю при $x=3$. Так как деление на ноль невозможно, $x \neq 3$.

При $x \neq 3$ знаменатель положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя. Решаем неравенство $(x-1)(x-4) \le 0$.

Это парабола с ветвями вверх, ее значения не положительны на отрезке между корнями $x=1$ и $x=4$. То есть, $x \in [1; 4]$.

Учитывая ограничение $x \neq 3$, получаем решение: $x \in [1; 3) \cup (3; 4]$.

Ответ: $x \in [1; 3) \cup (3; 4]$.

6) Решим неравенство $(x + 1)^3 (x - 1)^2 (x - 3)^6 > 0$.

Применим метод интервалов. Найдем корни и их кратность:

• $x = -1$ (кратность 3, нечетная)
• $x = 1$ (кратность 2, четная)
• $x = 3$ (кратность 6, четная)

Неравенство строгое, поэтому все корни не входят в решение.

Точки -1, 1, 3 разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак на крайнем правом интервале $(3; \infty)$. Возьмем $x=4$: $(4+1)^3(4-1)^2(4-3)^6 > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.

• Интервал $(1; 3)$: переходим через $x=3$ (четная кратность), знак сохраняется – «+».
• Интервал $(-1; 1)$: переходим через $x=1$ (четная кратность), знак сохраняется – «+».
• Интервал $(-\infty; -1)$: переходим через $x=-1$ (нечетная кратность), знак меняется – «-».

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем $x > -1$, при этом $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (1; 3) \cup (3; \infty)$.