Номер 38.1, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^2 + 4x - 7;$

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1;$

3) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x;$

4) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3;$

5) $f(x) = x^3 + 4x - 8;$

6) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9.$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную. Промежутки, на которых производная положительна ($f'(x) > 0$), являются промежутками возрастания функции. Промежутки, на которых производная отрицательна ($f'(x) < 0$), являются промежутками убывания функции. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

1) $f(x) = x^2 + 4x - 7$

Сначала находим производную функции: $f'(x) = (x^2 + 4x - 7)' = 2x + 4$.

Далее, находим критические точки, приравняв производную к нулю: $2x + 4 = 0$ $2x = -4$ $x = -2$

Критическая точка $x = -2$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

• При $x < -2$ (например, при $x = -3$), $f'(-3) = 2(-3) + 4 = -2 < 0$. Значит, на промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает.
• При $x > -2$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 2(0) + 4 = 4 > 0$. Значит, на промежутке $[-2; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$

Находим производную функции: $f'(x) = (2x^3 - 3x^2 + 1)' = 6x^2 - 6x$.

Находим критические точки: $6x^2 - 6x = 0$ $6x(x - 1) = 0$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0.5$), $f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 2$), $f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 1]$.

3) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x$

Находим производную функции: $f'(x) = (-x^3 + 9x^2 + 21x)' = -3x^2 + 18x + 21$.

Находим критические точки: $-3x^2 + 18x + 21 = 0$ Делим уравнение на -3: $x^2 - 6x - 7 = 0$ По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$. График производной $f'(x)$ — парабола с ветвями вниз.

• При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 7)$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (7; +\infty)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 7]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[7; +\infty)$.

4) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

Находим производную функции: $f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

Находим критические точки: $4x^3 - 4x = 0$ $4x(x^2 - 1) = 0$ $4x(x - 1)(x + 1) = 0$ Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x = -2$), $f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 0)$ (например, $x = -0.5$), $f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0.5$), $f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 2$), $f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

5) $f(x) = x^3 + 4x - 8$

Находим производную функции: $f'(x) = (x^3 + 4x - 8)' = 3x^2 + 4$.

Попытаемся найти критические точки: $3x^2 + 4 = 0$ $3x^2 = -4$ Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \geq 0$), а значит $3x^2 + 4 \geq 4$.

Поскольку производная $f'(x) = 3x^2 + 4$ всегда положительна при любом значении $x$, критических точек нет, и функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

6) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9$

Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 8x + 9)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 8 = x^3 - 8$.

Находим критические точки: $x^3 - 8 = 0$ $x^3 = 8$ $x = 2$

Критическая точка $x = 2$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x < 2$ (например, $x=0$), $f'(0) = 0^3 - 8 = -8 < 0$. Функция убывает.
• При $x > 2$ (например, $x=3$), $f'(3) = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.