Номер 38.4, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4;$

2) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4;$

3) $f(x) = \frac{2x - 9}{x - 5};$

4) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4};$

5) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2};$

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}.$

1) $f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

$f'(x) = (3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4)' = 12x^3 - 60x^2 + 72x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$12x^3 - 60x^2 + 72x = 0$

$12x(x^2 - 5x + 6) = 0$

$12x(x-2)(x-3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак производной на каждом из них:

На интервале $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(0, 2)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(2, 3)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(3, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 2]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, 3]$.

2) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную:

$f'(x) = (9 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$12x^2 - 4x^3 = 0$

$4x^2(3 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$:

На интервале $(-\infty, 0)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.

На интервале $(0, 3)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.

На интервале $(3, +\infty)$ $f'(x) < 0$, функция убывает.

Поскольку в точке $x=0$ знак производной не меняется, промежутки возрастания можно объединить.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$, убывает на промежутке $[3, +\infty)$.

3) $f(x) = \frac{2x - 9}{x - 5}$

Область определения функции: $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. $D(f) = (-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$.

Найдем производную по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(2x-9)'(x-5) - (2x-9)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{2(x-5) - (2x-9)(1)}{(x-5)^2} = \frac{2x - 10 - 2x + 9}{(x-5)^2} = \frac{-1}{(x-5)^2}$.

Знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \neq 5$, а числитель равен -1. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения.

Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 5)$ и $(5, +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$

Область определения: $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. $D(f) = (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(x^2+5x)'(x-4) - (x^2+5x)(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{(2x+5)(x-4) - (x^2+5x)}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x-4)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв числитель производной к нулю:

$x^2 - 8x - 20 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 10$.

Знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $g(x)=x^2 - 8x - 20 = (x+2)(x-10)$, так как знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен.

На интервале $(-\infty, -2)$ $g(x) > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

На интервалах $(-2, 4)$ и $(4, 10)$ $g(x) < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

На интервале $(10, +\infty)$ $g(x) > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[10, +\infty)$, убывает на промежутках $[-2, 4)$ и $(4, 10]$.

5) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$

Область определения: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную: $f(x) = 3x + 12x^{-2}$.

$f'(x) = 3 - 24x^{-3} = 3 - \frac{24}{x^3} = \frac{3x^3 - 24}{x^3}$.

Найдем критические точки из $f'(x) = 0$:

$3x^3 - 24 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.

Точка разрыва $x=0$ и критическая точка $x=2$ делят область определения на интервалы. Определим знак производной:

На интервале $(-\infty, 0)$ $f'(x) = \frac{3(x^3 - 8)}{x^3} > 0$ (отношение двух отрицательных чисел), функция возрастает.

На интервале $(0, 2)$ $f'(x) < 0$ (числитель отрицательный, знаменатель положительный), функция убывает.

На интервале $(2, +\infty)$ $f'(x) > 0$ (отношение двух положительных чисел), функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $(0, 2]$.

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$

Область определения: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-4) - x^2(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.

Найдем критические точки из $f'(x) = 0$:

$-8x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $-8x$.

На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0)$ $-8x > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

На интервалах $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$ $-8x < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0]$, убывает на промежутках $[0, 2)$ и $(2, +\infty)$.