Номер 38.10, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.10. Докажите, что функция является убывающей:

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$

Для доказательства того, что функция является убывающей, необходимо найти ее производную и доказать, что она неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех $x$ из области определения функции. Если производная строго отрицательна ($f'(x) < 0$), то функция является строго убывающей.

1) Дана функция $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$.

Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования многочлена:

$f'(x) = (6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)' = 0 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -1 + x - x^2$.

Итак, $f'(x) = -x^2 + x - 1$.

Чтобы определить знак производной, исследуем квадратичную функцию $y(x) = -x^2 + x - 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-x^2 + x - 1$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $-x^2 + x - 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y(x) = -x^2 + x - 1$ не пересекает ось абсцисс.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $Ox$, то все значения функции $y(x)$ являются отрицательными при любых значениях $x$.

Следовательно, $f'(x) = -x^2 + x - 1 < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -x^2 + x - 1$ всегда отрицательна, так как это парабола с ветвями вниз и отрицательным дискриминантом ($D = -3$), следовательно, функция $f(x)$ является убывающей на всей своей области определения.

2) Дана функция $f(x) = \sin 2x - 3x$.

Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin 2x - 3x)' = (\sin 2x)' - (3x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 3 = 2\cos(2x) - 3$.

Чтобы определить знак производной, оценим выражение $2\cos(2x) - 3$.

Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$ для любого значения $x$.

Умножим все части двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos(2x) \le 2$.

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-2 - 3 \le 2\cos(2x) - 3 \le 2 - 3$.

$-5 \le 2\cos(2x) - 3 \le -1$.

Таким образом, мы получили, что производная $f'(x)$ принимает значения в диапазоне от -5 до -1.

Так как $-1 < 0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $f'(x) = 2\cos(2x) - 3$ всегда отрицательна, так как ее значения принадлежат отрезку $[-5; -1]$, следовательно, функция $f(x)$ является убывающей на всей своей области определения.