Номер 38.13, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.13. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sin x - x$;

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции используется ее производная. Если производная $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1. Найдём область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\sin x - x)' = (\sin x)' - (x)' = \cos x - 1$.

3. Определим знак производной. Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.
Следовательно, $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Найдём точки, в которых производная равна нулю:
$f'(x) = 0 \implies \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.
Это равенство достигается при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Во всех остальных точках ($x \neq 2\pi n$) производная строго отрицательна: $f'(x) < 0$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, за исключением отдельных точек, где она равна нулю, функция является убывающей на всей числовой прямой. Промежутков возрастания у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

1. Найдём область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x)' = (\frac{\sqrt{2}}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x$.

3. Определим знак производной.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x > 0$
$\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как функция непрерывна, то в искомые промежутки можно включить и концы. Таким образом, функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x < 0$
$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Включая концы, получаем, что функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.