Номер 38.16, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.16. Решите уравнение $1 + \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{6}{2x - 1}$.

Для решения уравнения $1 + \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{6}{2x - 1}$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы знаменатели дробей не обращались в ноль.

Разложим на множители знаменатель $2x^2 + 7x - 4$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $2x^2 + 7x - 4 = 2(x - \frac{1}{2})(x+4) = (2x-1)(x+4)$.

Знаменатели в исходном уравнении: $x+4$, $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ и $2x-1$. Они не должны равняться нулю, поэтому ОДЗ: $x \neq -4$ и $x \neq \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем уравнение, подставив разложенный знаменатель:

$$1 + \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{(2x - 1)(x + 4)} = \frac{6}{2x - 1}$$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - 1)(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ:

$1 \cdot (2x - 1)(x + 4) + 2x \cdot (2x - 1) + 27 = 6 \cdot (x + 4)$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 8x - x - 4) + (4x^2 - 2x) + 27 = 6x + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 7x - 4 + 4x^2 - 2x + 27 = 6x + 24$

$6x^2 + 5x + 23 = 6x + 24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$6x^2 + 5x - 6x + 23 - 24 = 0$

$6x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -4$ и $x \neq \frac{1}{2}$).

Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $2x-1$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как не равен $-4$ и $\frac{1}{2}$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.