Номер 4, страница 288 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Какую точку называют критической точкой функции?

В математическом анализе критической точкой функции называют внутреннюю точку её области определения, в которой производная этой функции равна нулю или не существует.

Эти точки являются "подозреваемыми" на локальный экстремум (максимум или минимум). Рассмотрим два условия, определяющие критическую точку $x_0$ для функции $f(x)$:

1. Производная равна нулю.
   Если в точке $x_0$ производная функции $f(x)$ существует и равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$, то $x_0$ является критической точкой. Такие точки также называют стационарными точками. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этой точке параллельна оси абсцисс (горизонтальна). В стационарной точке может быть локальный максимум, локальный минимум или точка перегиба с горизонтальной касательной.
   Пример: Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Её производная равна $f'(x) = 3x^2 - 3$. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0$ $x^2 = 1$ $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Точки $x = -1$ и $x = 1$ являются критическими (стационарными) точками данной функции.
2. Производная не существует.
   Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ определена и непрерывна, но её производная $f'(x_0)$ не существует, то $x_0$ также является критической точкой. Такое случается в точках, где график функции имеет "излом" (угловая точка) или "остриё" (касп), либо имеет вертикальную касательную.
   Пример (излом): Для функции $f(x) = |x|$, производная в точке $x=0$ не существует. При $x > 0$ производная равна $1$, а при $x < 0$ она равна $-1$. Поскольку производные слева и справа не совпадают, в точке $x=0$ производной нет. Следовательно, $x=0$ — критическая точка.
   Пример (касп): Для функции $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$, её производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. В точке $x=0$ знаменатель обращается в ноль, поэтому производная не существует. Таким образом, $x=0$ — критическая точка.

Важно понимать, что нахождение критических точек — это необходимый шаг при поиске локальных экстремумов функции. Согласно теореме Ферма, если функция имеет локальный экстремум в точке, то эта точка является критической. Однако не каждая критическая точка является точкой экстремума.

Ответ: Критическая точка функции — это внутренняя точка области определения функции, в которой её производная равна нулю ($f'(x) = 0$) или не существует.