Номер 39.4, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.4. Имеет ли критические точки функция:

1) $f(x) = x;$

2) $f(x) = x^5 + 1;$

3) $f(x) = 5;$

4) $f(x) = \sin x;$

5) $f(x) = \text{tg } x;$

6) $f(x) = \sqrt{x}?$

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

1) $f(x) = x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' = 1$.
Уравнение $f'(x) = 1 = 0$ не имеет решений.
Производная $f'(x) = 1$ существует при всех значениях $x$.
Следовательно, у функции нет точек, где производная равна нулю или не существует.

Ответ: нет, функция не имеет критических точек.

2) $f(x) = x^5 + 1$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^5 + 1)' = 5x^4$.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 5x^4 = 0$. Решением этого уравнения является $x = 0$.
Точка $x=0$ является внутренней точкой области определения, и производная в этой точке равна нулю, следовательно, $x=0$ — критическая точка.

Ответ: да, функция имеет критическую точку $x=0$.

3) $f(x) = 5$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (5)' = 0$.
Производная равна нулю при любом значении $x$ из области определения.
Следовательно, любая точка $x \in \mathbb{R}$ является критической точкой.

Ответ: да, любая точка $x \in \mathbb{R}$ является критической точкой.

4) $f(x) = \sin x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = \cos x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Все эти точки являются внутренними точками области определения, следовательно, они являются критическими.

Ответ: да, функция имеет критические точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) $f(x) = \tg x$

Область определения функции: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$. Область определения состоит из объединения открытых интервалов, поэтому все ее точки являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Уравнение $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 0$ не имеет решений, так как числитель дроби равен 1.
Производная существует во всех точках области определения функции.
Таким образом, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, функция не имеет критических точек.

6) $f(x) = \sqrt{x}$

Область определения функции: $D(f) = [0, +\infty)$. Внутренними точками области определения являются точки интервала $(0, +\infty)$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0, +\infty)$ производная $f'(x)$ существует и не равна нулю ($ \frac{1}{2\sqrt{x}} \neq 0 $).
В точке $x = 0$ производная не существует, но эта точка не является внутренней точкой области определения, а является ее граничной точкой.
Согласно определению, критическими точками могут быть только внутренние точки области определения, поэтому у данной функции нет критических точек.

Ответ: нет, функция не имеет критических точек.