Номер 39.8, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.8. Функция $y = f(x)$ дифференцируема на множестве действительных чисел. На рисунке 39.22 изображён график её производной. Укажите точки максимума и минимума функции $y = f(x)$.

Рис. 39.22

Чтобы найти точки максимума и минимума функции $y = f(x)$, необходимо проанализировать график её производной $y = f'(x)$. Точки экстремума (максимума и минимума) функции находятся в тех точках, в которых её производная $f'(x)$ равна нулю и при этом меняет свой знак.

1. Найдём стационарные точки.
Это точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. На графике это абсциссы точек пересечения кривой $y = f'(x)$ с осью $Ox$. Исходя из графика, мы видим три такие точки:
$x_1 = -2$
$x_2 = 2$
$x_3 = 4$

2. Определим точки максимума и минимума.
Для этого проанализируем, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через каждую из этих стационарных точек.

Точки максимума
Точка максимума — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. Это означает, что функция $f(x)$ сменяет возрастание на убывание.
- Рассмотрим точку $x = 2$. Слева от этой точки (на интервале $(-2, 2)$) график производной находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Справа от этой точки (на интервале $(2, 4)$) график производной находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Таким образом, в точке $x = 2$ происходит смена знака производной с «+» на «−». Следовательно, это точка максимума.
Ответ: точка максимума $x = 2$.

Точки минимума
Точка минимума — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. Это означает, что функция $f(x)$ сменяет убывание на возрастание.
- Рассмотрим точку $x = -2$. Слева от этой точки (на интервале $(-\infty, -2)$) график производной находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Справа от этой точки (на интервале $(-2, 2)$) график производной находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Происходит смена знака с «−» на «+», следовательно, $x = -2$ — точка минимума.
- Рассмотрим точку $x = 4$. Слева от этой точки (на интервале $(2, 4)$) график производной находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Справа от этой точки (на интервале $(4, +\infty)$) график производной находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Происходит смена знака с «−» на «+», следовательно, $x = 4$ — также точка минимума.
Ответ: точки минимума $x = -2$ и $x = 4$.