Страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.7. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x;$

2) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3;$

3) $f(x) = -x^2 + 4x - 3;$

4) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4;$

5) $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2;$

6) $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4.$

1) Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ необходимо найти ее производную и приравнять к нулю для определения критических точек.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ возьмем точку $x = -2$. $f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-1; 1)$ возьмем точку $x = 0$. $f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x = 2$. $f'(2) = 2^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
4. Определяем точки минимума и максимума.
- В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{max} = -1$, $x_{min} = 1$.

2) Для функции $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - x^2$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$), $f'(-3) = 4 - (-3)^2 = -5 < 0$. Функция убывает.
- При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$), $f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 2$ (например, $x=3$), $f'(3) = 4 - 3^2 = -5 < 0$. Функция убывает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -2$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума.
- В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 2$.

3) Для функции $f(x) = -x^2 + 4x - 3$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4$.
2. Находим критическую точку:
$-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
3. Исследуем знак производной.
- При $x < 2$, $f'(x) > 0$ (например, $f'(0) = 4$), функция возрастает.
- При $x > 2$, $f'(x) < 0$ (например, $f'(3) = -2$), функция убывает.
4. В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. Точек минимума у функции нет, так как это парабола с ветвями вниз.
Ответ: $x_{max} = 2$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4)' = x^2 + 6x - 7$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$x^2 + 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.
3. Исследуем знак производной.
- При $x < -7$ (например, $x=-8$), $f'(-8) = (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64-48-7 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- При $-7 < x < 1$ (например, $x=0$), $f'(0) = -7 < 0$. Функция убывает.
- При $x > 1$ (например, $x=2$), $f'(2) = 2^2 + 6(2) - 7 = 4+12-7 = 9 > 0$. Функция возрастает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -7$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: $x_{max} = -7$, $x_{min} = 1$.

5) Для функции $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (2x^4 - 4x^3 + 2)' = 8x^3 - 12x^2$.
2. Находим критические точки:
$8x^3 - 12x^2 = 0 \implies 4x^2(2x - 3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2}$.
3. Исследуем знак производной.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 8(-1)^3 - 12(-1)^2 = -8 - 12 = -20 < 0$. Функция убывает.
- При $0 < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=1$), $f'(1) = 8(1)^3 - 12(1)^2 = 8 - 12 = -4 < 0$. Функция убывает.
- При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$), $f'(2) = 8(2)^3 - 12(2)^2 = 64 - 48 = 16 > 0$. Функция возрастает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x=0$ производная не меняет свой знак, поэтому точка $x=0$ не является точкой экстремума.
- В точке $x = \frac{3}{2}$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума. Точек максимума у функции нет.
Ответ: $x_{min} = \frac{3}{2}$.

6) Для функции $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4)' = 2x + 6x^2 - 8x^3$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-8x^3 + 6x^2 + 2x = 0$
$-2x(4x^2 - 3x - 1) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ или $4x^2 - 3x - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.
$x_2 = \frac{3+5}{8} = 1$, $x_3 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$.
Критические точки: $-\frac{1}{4}$, $0$, $1$.
3. Исследуем знак производной $f'(x) = -2x(x-1)(4x+1)$.
- При $x < -\frac{1}{4}$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 12 > 0$. Функция возрастает.
- При $-\frac{1}{4} < x < 0$ (например, $x=-0.1$), $f'(-0.1) \approx -0.132 < 0$. Функция убывает.
- При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), $f'(0.5) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 1$ (например, $x=2$), $f'(2) = -36 < 0$. Функция убывает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -\frac{1}{4}$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
- В точке $x = 0$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума.
- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
Ответ: $x_{max} = -\frac{1}{4}$, $x_{max} = 1$, $x_{min} = 0$.

39.8. Функция $y = f(x)$ дифференцируема на множестве действительных чисел. На рисунке 39.22 изображён график её производной. Укажите точки максимума и минимума функции $y = f(x)$.

Рис. 39.22

Чтобы найти точки максимума и минимума функции $y = f(x)$, необходимо проанализировать график её производной $y = f'(x)$. Точки экстремума (максимума и минимума) функции находятся в тех точках, в которых её производная $f'(x)$ равна нулю и при этом меняет свой знак.

1. Найдём стационарные точки.
Это точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. На графике это абсциссы точек пересечения кривой $y = f'(x)$ с осью $Ox$. Исходя из графика, мы видим три такие точки:
$x_1 = -2$
$x_2 = 2$
$x_3 = 4$

2. Определим точки максимума и минимума.
Для этого проанализируем, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через каждую из этих стационарных точек.

Точки максимума
Точка максимума — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. Это означает, что функция $f(x)$ сменяет возрастание на убывание.
- Рассмотрим точку $x = 2$. Слева от этой точки (на интервале $(-2, 2)$) график производной находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Справа от этой точки (на интервале $(2, 4)$) график производной находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Таким образом, в точке $x = 2$ происходит смена знака производной с «+» на «−». Следовательно, это точка максимума.
Ответ: точка максимума $x = 2$.

Точки минимума
Точка минимума — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. Это означает, что функция $f(x)$ сменяет убывание на возрастание.
- Рассмотрим точку $x = -2$. Слева от этой точки (на интервале $(-\infty, -2)$) график производной находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Справа от этой точки (на интервале $(-2, 2)$) график производной находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Происходит смена знака с «−» на «+», следовательно, $x = -2$ — точка минимума.
- Рассмотрим точку $x = 4$. Слева от этой точки (на интервале $(2, 4)$) график производной находится ниже оси $Ox$, то есть $f'(x) < 0$. Справа от этой точки (на интервале $(4, +\infty)$) график производной находится выше оси $Ox$, то есть $f'(x) > 0$. Происходит смена знака с «−» на «+», следовательно, $x = 4$ — также точка минимума.
Ответ: точки минимума $x = -2$ и $x = 4$.

39.9. Функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел и имеет производную в каждой точке области определения. На рисунке 39.23 изображён график функции $y = f'(x)$. Сколько точек экстремума имеет функция $y = f(x)$?

Рис. 39.22

y

$y = f'(x)$

1

0

1

x

Рис. 39.23

y

$y = f'(x)$

0

x

Точки экстремума (максимума или минимума) функции $y = f(x)$ соответствуют тем значениям $x$, в которых её производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак.

По условию, на рисунке 39.23 изображен график производной $y = f'(x)$. Нам нужно найти количество точек, в которых этот график пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как именно в этих точках $f'(x) = 0$.

Анализируя график на рисунке 39.23, мы видим, что кривая $y = f'(x)$ пересекает ось $Ox$ в двух точках.

• В первой точке (которая находится левее нуля) значение производной $f'(x)$ меняется с положительного на отрицательное. Это значит, что функция $f(x)$ до этой точки возрастала, а после — стала убывать. Следовательно, это точка максимума.
• Во второй точке (которая находится правее нуля) значение производной $f'(x)$ меняется с отрицательного на положительное. Это значит, что функция $f(x)$ до этой точки убывала, а после — стала возрастать. Следовательно, это точка минимума.

Поскольку в обеих точках пересечения с осью $Ox$ производная меняет свой знак, обе они являются точками экстремума для функции $f(x)$.

Таким образом, у функции $y=f(x)$ две точки экстремума.

Ответ: 2.

39.10. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7;$

2) $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2;$

3) $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3.$

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7$
Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной.
1. Область определения функции. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 3x^{3-1} + 0 = x^3 - 6x^2$.
3. Находим критические точки функции. Для этого приравниваем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies x^3 - 6x^2 = 0$.
Выносим общий множитель за скобки:
$x^2(x - 6) = 0$.
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$. $f'(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 = -1 - 6 = -7 < 0$. Значит, функция убывает на этом интервале.
- На интервале $(0; 6)$ возьмем точку $x = 1$. $f'(1) = 1^3 - 6(1)^2 = 1 - 6 = -5 < 0$. Значит, функция также убывает на этом интервале.
- На интервале $(6; +\infty)$ возьмем точку $x = 10$. $f'(10) = 10^3 - 6(10)^2 = 1000 - 600 = 400 > 0$. Значит, функция возрастает на этом интервале.
5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная не меняет свой знак (слева «минус» и справа «минус»), поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.
- В точке $x = 6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Следовательно, $x=6$ — точка минимума.
Найдем значение функции в этой точке: $f(6) = \frac{1}{4}(6)^4 - 2(6)^3 + 7 = \frac{1296}{4} - 2(216) + 7 = 324 - 432 + 7 = -101$.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$ и возрастает на промежутке $[6; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[6; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 6]$, точка минимума $x_{min} = 6$.

2) $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2$
1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x - 1)^3)'(x - 2)^2 + (x - 1)^3((x - 2)^2)' = 3(x - 1)^2(x - 2)^2 + (x - 1)^3 \cdot 2(x - 2)$.
Вынесем общие множители $(x-1)^2$ и $(x-2)$ за скобки:
$f'(x) = (x - 1)^2(x - 2)[3(x - 2) + 2(x - 1)] = (x - 1)^2(x - 2)(3x - 6 + 2x - 2) = (x - 1)^2(x - 2)(5x - 8)$.
3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$(x - 1)^2(x - 2)(5x - 8) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1.6$.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 1.6)$, $(1.6; 2)$, $(2; +\infty)$. Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на знак производной (кроме точки $x=1$).
- На интервале $(-\infty; 1)$ возьмем $x = 0$: $f'(0) = (-1)^2(-2)(-8) = 16 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; 1.6)$ возьмем $x = 1.5$: $f'(1.5) = (0.5)^2(-0.5)(7.5 - 8) = (0.25)(-0.5)(-0.5) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1.6; 2)$ возьмем $x = 1.8$: $f'(1.8) = (0.8)^2(-0.2)(9-8) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x = 3$: $f'(3) = (2)^2(1)(15-8) = 28 > 0$, функция возрастает.
5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = 1$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума.
- В точке $x = 1.6$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = 1.6$.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 2$.
Значение функции в точке минимума: $f(2) = (2-1)^3(2-2)^2 = 0$.
Значение функции в точке максимума: $f(1.6) = (1.6-1)^3(1.6-2)^2 = (0.6)^3(-0.4)^2 = 0.216 \cdot 0.16 = 0.03456$. Или в дробях: $f(\frac{8}{5}) = (\frac{8}{5}-1)^3(\frac{8}{5}-2)^2 = (\frac{3}{5})^3(-\frac{2}{5})^2 = \frac{27}{125} \cdot \frac{4}{25} = \frac{108}{3125}$.
Промежутки возрастания: $(-\infty; 1.6]$. Промежуток убывания: $[1.6; 2]$. Промежуток возрастания: $[2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1.6]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[1.6; 2]$, точка максимума $x_{max} = 1.6$, точка минимума $x_{min} = 2$.

3) $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3$
1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3)' = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 + \frac{4}{5} \cdot 5x^4 + 4x^3 = x^5 + 4x^4 + 4x^3$.
3. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \implies x^5 + 4x^4 + 4x^3 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:
$x^3(x^2 + 4x + 4) = 0$.
$x^3(x+2)^2 = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$. Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак производной определяется знаком множителя $x^3$.
- На интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $f'(-3) = (-3)^3(-3+2)^2 = -27 \cdot 1 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; 0)$ возьмем $x = -1$: $f'(-1) = (-1)^3(-1+2)^2 = -1 \cdot 1 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$ возьмем $x = 1$: $f'(1) = 1^3(1+2)^2 = 9 > 0$, функция возрастает.
5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная не меняет знак, поэтому $x=-2$ не является точкой экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 0$.
Найдем значение функции в точке минимума: $f(0) = \frac{1}{6}(0)^6 + \frac{4}{5}(0)^5 + (0)^4 + 3 = 3$.
Промежуток убывания: $(-\infty; 0]$. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.

39.11. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9;$

2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3.$

1) Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9$, необходимо исследовать знак ее производной.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9)' = 3 \cdot 4x^3 - 8 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 0 = 12x^3 - 24x^2 + 12x$.

Далее найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$12x^3 - 24x^2 + 12x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $12x$:

$12x(x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-1)^2$:

$12x(x-1)^2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x = 0$ и $x = 1$. Это критические точки функции.

Теперь определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• При $x < 0$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 12(-1)(-1-1)^2 = -12 \cdot 4 = -48 < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), $f'(0.5) = 12(0.5)(0.5-1)^2 = 6(-0.5)^2 = 1.5 > 0$. Следовательно, на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает.
• При $x > 1$ (например, $x=2$), $f'(2) = 12(2)(2-1)^2 = 24 \cdot 1 = 24 > 0$. Следовательно, на промежутке $[1, +\infty)$ функция возрастает.

Объединяя промежутки возрастания, получаем, что функция возрастает на $[0, +\infty)$.

Анализ смены знака производной в критических точках:

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $x_{min} = 0$.
• В точке $x=1$ производная не меняет знак (остается положительной), поэтому $x=1$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции $f(x) = (x+4)^4(x-3)^3$.

Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$f'(x) = ((x+4)^4)'(x-3)^3 + (x+4)^4((x-3)^3)' = 4(x+4)^3(x-3)^3 + (x+4)^4 \cdot 3(x-3)^2$.

Вынесем общий множитель $(x+4)^3(x-3)^2$ за скобки:

$f'(x) = (x+4)^3(x-3)^2[4(x-3) + 3(x+4)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$f'(x) = (x+4)^3(x-3)^2[4x - 12 + 3x + 12] = (x+4)^3(x-3)^2(7x)$

Таким образом, $f'(x) = 7x(x+4)^3(x-3)^2$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$7x(x+4)^3(x-3)^2 = 0$

Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

Определим знаки производной на интервалах. Так как множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, знак $f'(x)$ зависит от знаков множителей $x$ и $(x+4)^3$.

• При $x \in (-\infty, -4)$: $x < 0$, $x+4 < 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(-)(-)^3(-)^2 = (+)$. Функция возрастает.
• При $x \in (-4, 0)$: $x < 0$, $x+4 > 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(-)(+)^3(-)^2 = (-)$. Функция убывает.
• При $x \in (0, 3)$: $x > 0$, $x+4 > 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(+)(+)^3(-)^2 = (+)$. Функция возрастает.
• При $x \in (3, +\infty)$: $x > 0$, $x+4 > 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(+)(+)^3(+)^2 = (+)$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty, -4]$ и на $[0, +\infty)$, а убывает на $[-4, 0]$.

Анализ смены знака производной в критических точках:

• В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -4$.
• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 0$.
• В точке $x=3$ производная не меняет знак, поэтому $x=3$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-4, 0]$, точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 0$.

39.12. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10;$

2) $f(x) = \sin x - x.$

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10$ не имеет точек экстремума, необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

Точки экстремума (минимума или максимума) могут существовать только в критических точках, где производная равна нулю или не существует. Необходимым и достаточным условием для существования экстремума в критической точке является смена знака производной при переходе через эту точку.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 4 = x^2 - 4x + 4$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 0$.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(x - 2)^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственный корень $x = 2$, который является единственной критической точкой функции.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = (x - 2)^2$. Поскольку выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, его значение всегда неотрицательно, то есть $f'(x) \ge 0$ при всех действительных значениях $x$. Производная обращается в ноль только в точке $x=2$ и положительна при всех остальных значениях $x$.

Таким образом, при переходе через критическую точку $x=2$ производная не меняет свой знак (она положительна как слева, так и справа от точки). Следовательно, в точке $x=2$ экстремума нет. Так как других критических точек у функции нет, она не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как ее производная $f'(x) = (x-2)^2$ неотрицательна на всей числовой оси и не меняет знак.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - x$. Применим тот же подход.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = \cos x - 1$. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.

Следовательно, производная $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ при всех действительных значениях $x$. Она обращается в ноль только в критических точках $x = 2\pi k$ и строго отрицательна во всех остальных точках.

Поскольку производная не меняет знак при переходе через любую из критических точек (она остается отрицательной слева и справа от каждой такой точки), функция не имеет точек экстремума. Она является монотонно убывающей на всей числовой оси.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как ее производная $f'(x) = \cos x - 1$ неположительна на всей числовой оси и не меняет знак.

39.13. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

1) $f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20$;

2) $f(x) = \cos x + x$.

1) Для того чтобы доказать, что функция не имеет точек экстремума, необходимо исследовать ее производную. Точки экстремума (минимума или максимума) могут существовать только в тех точках, где производная функции равна нулю или не существует (критические точки), и при этом знак производной меняется при переходе через эти точки.

Дана функция $f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20)' = 30x^4 - 60x^3 + 30x^2$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $30x^4 - 60x^3 + 30x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки: $30x^2(x^2 - 2x + 1) = 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Получаем уравнение: $30x^2(x-1)^2 = 0$.

Это уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Это критические точки.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 30x^2(x-1)^2$ на всей числовой оси. Множитель $30$ — положительное число. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Множитель $(x-1)^2$ также всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, их произведение $f'(x) = 30x^2(x-1)^2 \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Производная функции никогда не бывает отрицательной. Она обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=1$, но не меняет свой знак при переходе через эти точки. Это означает, что функция является монотонно неубывающей на всей своей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: Поскольку производная функции $f'(x) = 30x^2(x-1)^2$ неотрицательна для всех $x$ и не меняет знак, данная функция не имеет точек экстремума.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x + x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\cos x + x)' = -\sin x + 1$.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: $1 - \sin x = 0$, $\sin x = 1$.

Критическими точками являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 1 - \sin x$. Известно, что область значений функции синус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.

Это означает, что выражение $1 - \sin x$ всегда будет больше или равно нулю: $f'(x) = 1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$.

Производная функции $f'(x)$ неотрицательна для всех $x$. Она обращается в ноль в критических точках, но не меняет свой знак при переходе через них (она остается неотрицательной). Следовательно, функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная $f'(x) = 1 - \sin x$ всегда неотрицательна и не меняет знак, функция не имеет точек экстремума.