Страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.22. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$;

2) $f(x) = (1-x)\sqrt{x}$;

3) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$;

4) $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$.

1)

Дана функция $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$.

Сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 1$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty, 1]$.

Далее найдём производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'\sqrt{1-x} + x^2(\sqrt{1-x})' = 2x\sqrt{1-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{1-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{1-x}}$.

Приведём выражение к общему знаменателю для удобства анализа:

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1-x} \cdot 2\sqrt{1-x} - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x(1-x) - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 5x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{x(4-5x)}{2\sqrt{1-x}}$.

Найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует.Производная $f'(x) = 0$, если её числитель равен нулю: $x(4-5x) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/5$.Производная не существует, если её знаменатель равен нулю: $2\sqrt{1-x} = 0$, что даёт $x_3=1$.Все найденные точки ($0$, $4/5$ и $1$) принадлежат области определения функции.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 4/5)$ и $(4/5, 1)$. Знаменатель $2\sqrt{1-x}$ положителен для всех $x < 1$, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x(4-5x)$.- На интервале $(-\infty, 0)$: $x<0$ и $4-5x>0$, произведение отрицательно. $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.- На интервале $(0, 4/5)$: $x>0$ и $4-5x>0$, произведение положительно. $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.- На интервале $(4/5, 1)$: $x>0$ и $4-5x<0$, произведение отрицательно. $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На основе анализа знаков производной делаем выводы о точках экстремума:- В точке $x=0$ знак производной меняется с «–» на «+», значит, это точка локального минимума.- В точке $x=4/5$ знак производной меняется с «+» на «–», значит, это точка локального максимума.- Точка $x=1$ является граничной точкой области определения. Так как функция убывает на интервале $[4/5, 1]$, то в точке $x=1$ достигается локальный минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 4/5]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4/5, 1]$; точка максимума $x_{max} = 4/5$; точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 1$.

2)

Дана функция $f(x) = (1-x)\sqrt{x}$.

Область определения функции определяется условием $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, \infty)$.

Найдём производную функции по правилу произведения:

$f'(x) = (1-x)'\sqrt{x} + (1-x)(\sqrt{x})' = -1 \cdot \sqrt{x} + (1-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\sqrt{x} + \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$.

Приведём к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{-\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 1-x}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + 1-x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-3x}{2\sqrt{x}}$.

Найдём критические точки.Производная $f'(x) = 0$ при $1-3x=0$, то есть $x = 1/3$.Производная не существует при $x=0$.Обе точки ($0$ и $1/3$) принадлежат области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $1-3x$.- На интервале $(0, 1/3)$: $1-3x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(1/3, \infty)$: $1-3x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.

Выводы о точках экстремума:- Точка $x=0$ является граничной. Поскольку справа от неё функция возрастает, $x=0$ — точка локального минимума.- В точке $x=1/3$ знак производной меняется с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1/3]$; убывает на промежутке $[1/3, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 1/3$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$.

Область определения: $x \ge 0$ (из-за корня) и $x+1 \ne 0$ (знаменатель). Второе условие ($x \ne -1$) выполняется при $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, \infty)$.

Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x+1) - \sqrt{x}(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Найдём критические точки.Производная $f'(x) = 0$ при $1-x=0$, то есть $x=1$.Производная не существует при $x=0$.Обе точки ($0$ и $1$) принадлежат области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}(x+1)^2$ положителен при $x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $1-x$.- На интервале $(0, 1)$: $1-x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(1, \infty)$: $1-x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.

Выводы о точках экстремума:- Точка $x=0$ — граничная. Справа от неё функция возрастает, значит, $x=0$ — точка локального минимума.- В точке $x=1$ знак производной меняется с «+» на «–», значит, это точка локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$; убывает на промежутке $[1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 1$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$.

Область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $3-x > 0$, откуда $x < 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 3)$.

Найдём производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{(2x-7)'\sqrt{3-x} - (2x-7)(\sqrt{3-x})'}{(\sqrt{3-x})^2} = \frac{2\sqrt{3-x} - (2x-7)\frac{-1}{2\sqrt{3-x}}}{3-x}$.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю:

$2\sqrt{3-x} - (2x-7)\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2\sqrt{3-x} \cdot 2\sqrt{3-x} + (2x-7)}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4(3-x) + 2x-7}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12-4x+2x-7}{2\sqrt{3-x}} = \frac{5-2x}{2\sqrt{3-x}}$.

Тогда производная равна:

$f'(x) = \frac{\frac{5-2x}{2\sqrt{3-x}}}{3-x} = \frac{5-2x}{2(3-x)\sqrt{3-x}} = \frac{5-2x}{2(3-x)^{3/2}}$.

Найдём критические точки.Производная $f'(x) = 0$ при $5-2x=0$, то есть $x = 5/2 = 2.5$. Эта точка входит в область определения.Производная не существует при $3-x=0$, то есть $x=3$, но эта точка не входит в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 2.5)$ и $(2.5, 3)$. Знаменатель $2(3-x)^{3/2}$ положителен на всей области определения, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $5-2x$.- На интервале $(-\infty, 2.5)$: $5-2x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(2.5, 3)$: $5-2x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=2.5$ знак производной меняется с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Точек минимума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2.5]$; убывает на промежутке $[2.5, 3)$; точка максимума $x_{max} = 2.5$; точек минимума нет.

39.23. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{x+2};$

2) $f(x) = (x-2)^2\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}.$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2\sqrt{x+2}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, область определения $D(f) = [-2, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (x^2)'\sqrt{x+2} + x^2(\sqrt{x+2})' = 2x\sqrt{x+2} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Приведем производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{2x\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2} + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x(x+2) + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x^2 + 8x + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{5x^2 + 8x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}}$.

3. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x = -2$ (крайняя точка области определения). Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. $\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $x(5x+8) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8/5 = -1.6$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $[-2, -1.6]$, $[-1.6, 0]$, $[0, +\infty)$. Знаменатель производной $2\sqrt{x+2}$ положителен при $x > -2$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(5x+8)$.

• На интервале $(-2, -1.6)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=-1.8$ имеем $(-)(-) > 0$), функция возрастает.

• На интервале $(-1.6, 0)$: $f'(x) < 0$ (например, при $x=-1$ имеем $(-)(+) < 0$), функция убывает.

• На интервале $(0, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=1$ имеем $(+)(+) > 0$), функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-2, -1.6]$ и $[0, +\infty)$, и убывает на промежутке $[-1.6, 0]$.

5. Найдем точки экстремума.

• В точке $x = -1.6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума: $x_{max} = -1.6$.

• В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 0$.

• Точка $x=-2$ является граничной точкой области определения. Так как функция возрастает на отрезке $[-2, -1.6]$, то $x=-2$ является точкой локального минимума.

Ответ: Промежутки возрастания: $[-2, -1.6]$ и $[0, +\infty)$. Промежуток убывания: $[-1.6, 0]$. Точка максимума: $x_{max} = -1.6$. Точки минимума: $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x-2)^2\sqrt{x}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = ((x-2)^2)'\sqrt{x} + (x-2)^2(\sqrt{x})' = 2(x-2)\sqrt{x} + (x-2)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Приведем к общему знаменателю и упростим: $f'(x) = \frac{2(x-2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x-2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x-2) + (x-2)^2}{2\sqrt{x}}$. Вынесем общий множитель $(x-2)$: $f'(x) = \frac{(x-2)(4x + x - 2)}{2\sqrt{x}} = \frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует при $x = 0$ (крайняя точка области определения). Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. $\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}} = 0$. $(x-2)(5x-2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = 2/5 = 0.4$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $[0, 0.4]$, $[0.4, 2]$, $[2, +\infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $(x-2)(5x-2)$.

• На интервале $(0, 0.4)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=0.1$ имеем $(-)(-) > 0$), функция возрастает.

• На интервале $(0.4, 2)$: $f'(x) < 0$ (например, при $x=1$ имеем $(-)(+) < 0$), функция убывает.

• На интервале $(2, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=3$ имеем $(+)(+) > 0$), функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[0, 0.4]$ и $[2, +\infty)$, и убывает на промежутке $[0.4, 2]$.

5. Найдем точки экстремума.

• В точке $x = 0.4$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума: $x_{max} = 0.4$.

• В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума: $x_{min} = 2$.

• Точка $x=0$ является граничной точкой. Так как функция возрастает на отрезке $[0, 0.4]$, то $x=0$ является точкой локального минимума.

Ответ: Промежутки возрастания: $[0, 0.4]$ и $[2, +\infty)$. Промежуток убывания: $[0.4, 2]$. Точка максимума: $x_{max} = 0.4$. Точки минимума: $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$. Таким образом, область определения $D(f) = (1, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $f'(x) = \frac{(3x+1)'\sqrt{x-1} - (3x+1)(\sqrt{x-1})'}{(\sqrt{x-1})^2} = \frac{3\sqrt{x-1} - (3x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}$.

Упростим выражение: $f'(x) = \frac{\frac{3\sqrt{x-1} \cdot 2\sqrt{x-1} - (3x+1)}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} = \frac{6(x-1) - (3x+1)}{2\sqrt{x-1}(x-1)} = \frac{6x - 6 - 3x - 1}{2(x-1)^{3/2}} = \frac{3x-7}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$.

3. Найдем критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. $\frac{3x-7}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = 0$. $3x-7 = 0$. $x = 7/3$. Эта точка принадлежит области определения ($7/3 \approx 2.33 > 1$).

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой: $(1, 7/3)$ и $(7/3, +\infty)$. Знаменатель $2(x-1)\sqrt{x-1}$ положителен на всей области определения. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $3x-7$.

• На интервале $(1, 7/3)$: $f'(x) < 0$ (например, при $x=2$ имеем $6-7 < 0$), функция убывает.

• На интервале $(7/3, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=3$ имеем $9-7 > 0$), функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(1, 7/3]$ и возрастает на промежутке $[7/3, +\infty)$.

5. Найдем точки экстремума. В точке $x = 7/3$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 7/3$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: Промежуток возрастания: $[7/3, +\infty)$. Промежуток убывания: $(1, 7/3]$. Точка минимума: $x_{min} = 7/3$.

39.24. Найдите наименьшее значение функции $y=3x^2 - 18x + 2$ на отрезке:

1) $[-1; 4]$; 2) $[-4; 1]$; 3) $[4; 5]$.

Для нахождения наименьшего значения квадратичной функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на заданном отрезке, сначала найдем координаты вершины параболы, которая является графиком этой функции. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх, и в вершине находится точка минимума функции.

Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-18}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Ордината вершины, которая является наименьшим значением функции на всей числовой прямой:

$y_0 = y(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 2 = 27 - 54 + 2 = -25$.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на одном из концов отрезка.

1) Найдем наименьшее значение на отрезке $[-1; 4]$.

Точка минимума функции $x_0 = 3$ принадлежит данному отрезку, так как $-1 \le 3 \le 4$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке нужно искать среди значений в точке $x_0=3$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=4$.

Значение в вершине:

$y(3) = -25$.

Значения на концах отрезка:

$y(-1) = 3(-1)^2 - 18(-1) + 2 = 3 + 18 + 2 = 23$.

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$.

Сравниваем полученные значения: $y(3)=-25$, $y(-1)=23$, $y(4)=-22$. Наименьшее из них равно -25.

Ответ: -25

2) Найдем наименьшее значение на отрезке $[-4; 1]$.

Точка минимума функции $x_0 = 3$ не принадлежит данному отрезку. Так как весь отрезок $[-4; 1]$ находится левее вершины, функция на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x=1$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 2 = 3 - 18 + 2 = -13$.

Ответ: -13

3) Найдем наименьшее значение на отрезке $[4; 5]$.

Точка минимума функции $x_0 = 3$ не принадлежит данному отрезку. Так как весь отрезок $[4; 5]$ находится правее вершины, функция на этом отрезке монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке $x=4$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$.

Ответ: -22

39.25. Найдите наибольшее значение функции $y=-x^2-8x+10$ на отрезке:

1) $[-5; -3];$

2) $[-1; 0];$

3) $[-11; -10].$

Чтобы найти наибольшее значение квадратичной функции $y = -x^2 - 8x + 10$ на заданном отрезке, сначала определим координаты вершины параболы, которая является графиком этой функции. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего глобального максимума.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $a = -1$, $b = -8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$.

Ордината вершины (максимальное значение функции): $y_0 = y(x_0)$

$y_0 = y(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) + 10 = -16 + 32 + 10 = 26$.

Теперь проанализируем каждый отрезок:

1) на отрезке $[-5; -3]$

Проверяем, принадлежит ли абсцисса вершины $x_0 = -4$ данному отрезку. Да, так как $-5 \le -4 \le -3$.

Поскольку вершина параболы находится на этом отрезке, а ветви направлены вниз, то наибольшее значение функции на отрезке $[-5; -3]$ равно значению функции в вершине.

$y_{наиб} = y(-4) = 26$.

Ответ: 26.

2) на отрезке $[-1; 0]$

Проверяем, принадлежит ли абсцисса вершины $x_0 = -4$ данному отрезку. Нет, $x_0 = -4$ не входит в отрезок $[-1; 0]$.

В этом случае наибольшее значение функции будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 0$.

$y(-1) = -(-1)^2 - 8(-1) + 10 = -1 + 8 + 10 = 17$.

$y(0) = -(0)^2 - 8(0) + 10 = 0 + 0 + 10 = 10$.

Сравниваем полученные значения: $17 > 10$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 0]$ равно 17.

Ответ: 17.

3) на отрезке $[-11; -10]$

Проверяем, принадлежит ли абсцисса вершины $x_0 = -4$ данному отрезку. Нет, $x_0 = -4$ не входит в отрезок $[-11; -10]$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -11$ и $x = -10$.

$y(-11) = -(-11)^2 - 8(-11) + 10 = -121 + 88 + 10 = -23$.

$y(-10) = -(-10)^2 - 8(-10) + 10 = -100 + 80 + 10 = -10$.

Сравниваем полученные значения: $-10 > -23$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-11; -10]$ равно -10.

Ответ: -10.