Страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.21. Начертите график какой-нибудь дифференцируемой функции такой, что: областью определения является промежуток $[-3; 4]$; областью значений является промежуток $[-2; 3]$; нули функции равны $-1$ и $2$; $f'(x) > 0$ для любого $x$ из промежутков $[-3; 0)$ и $(2; 4]$; $f'(x) < 0$ для любого $x$ из промежутка $(0; 2)$.

Для построения графика функции $f(x)$ проанализируем последовательно все заданные условия:

1. Дифференцируемость функции: Это означает, что график должен быть гладкой, непрерывной линией, без резких изломов, скачков или разрывов.
2. Область определения $D(f) = [-3; 4]$: График функции существует только для значений $x$ в этом промежутке. Точки с абсциссами $x=-3$ и $x=4$ являются концами графика.
3. Область значений $E(f) = [-2; 3]$: Все значения функции лежат в этом промежутке. Это значит, что глобальный минимум функции равен -2, а глобальный максимум равен 3.
4. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=-1$ и $x=2$. Это означает, что график пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.
5. Поведение производной:
   • $f'(x) > 0$ на промежутках $[-3; 0)$ и $(2; 4]$. Это значит, что на этих интервалах функция строго возрастает.
   • $f'(x) < 0$ на промежутке $(0; 2)$. Это значит, что на этом интервале функция строго убывает.

Теперь объединим эти сведения, чтобы определить характерные точки графика:

• В точке $x=0$ знак производной меняется с «+» на «-». Поскольку функция дифференцируема, это точка локального максимума, и в ней производная равна нулю: $f'(0)=0$. Касательная к графику в этой точке горизонтальна.
• В точке $x=2$ знак производной меняется с «-» на «+». Это точка локального минимума, и $f'(2)=0$. Касательная также горизонтальна.

Определим значения функции в ключевых точках, используя все условия:

• Мы знаем, что в точке локального минимума $x=2$ находится один из нулей функции. Следовательно, координаты точки минимума — $(2; 0)$.
• Глобальный минимум функции равен -2 (из области значений). Кандидатами на глобальный минимум являются точки локальных минимумов и концы отрезка области определения. Локальный минимум $f(2)=0$. На интервале $(2; 4]$ функция возрастает, значит $f(4) > f(2)$. Следовательно, глобальный минимум должен достигаться на левом конце отрезка, в точке $x=-3$. Таким образом, $f(-3) = -2$.
• Глобальный максимум функции равен 3. Кандидаты — точка локального максимума $x=0$ и правый конец отрезка $x=4$. В точке $x=0$ находится локальный максимум. На отрезке $[-3; 0)$ функция возрастает от $f(-3)=-2$. На отрезке $(0; 4]$ минимальное значение равно $f(2)=0$. Наиболее вероятно, что глобальный максимум достигается именно в точке локального максимума. Примем, что $f(0)=3$.
• Для правой конечной точки $x=4$ значение $f(4)$ должно быть больше $f(2)=0$ и не больше глобального максимума 3. Для конкретности можно выбрать любое значение из промежутка $(0; 3]$, например, $f(4)=2$.

На основе этого анализа мы можем построить эскиз графика, соединив следующие опорные точки плавной кривой:

• Начальная точка (глобальный минимум): $(-3; -2)$.
• Нуль функции: $(-1; 0)$.
• Точка максимума (локального и глобального): $(0; 3)$.
• Точка минимума (локального) и нуль функции: $(2; 0)$.
• Конечная точка: $(4; 2)$.

Ответ:

Ниже представлен пример графика функции, который удовлетворяет всем перечисленным в задаче условиям.