Страница 296 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Опишите, как найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке $[a; b]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции $f(x)$ на замкнутом промежутке $[a; b]$, необходимо применить следующий алгоритм. Этот метод основан на фундаментальной теореме Вейерштрасса, которая гласит, что любая непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего максимума и минимума. Эти экстремальные значения могут находиться либо на концах отрезка, либо во внутренних точках, которые являются критическими.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Найти область определения функции и убедиться, что промежуток $[a; b]$ входит в нее.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Найти критические точки функции. Это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого необходимо:

   • Решить уравнение $f'(x) = 0$.

   • Определить точки, в которых производная $f'(x)$ не существует.

4. Выбрать из всех найденных критических точек только те, которые принадлежат заданному промежутку $[a; b]$.

5. Вычислить значения функции $f(x)$ на концах промежутка (то есть $f(a)$ и $f(b)$) и в каждой из критических точек, отобранных на предыдущем шаге.

6. Сравнить все полученные на шаге 5 значения. Самое большое из них будет наибольшим значением функции на промежутке $[a; b]$, обозначается как $\max_{[a; b]} f(x)$. Самое маленькое значение будет наименьшим значением функции на этом же промежутке, обозначается как $\min_{[a; b]} f(x)$.

Ответ: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке $[a; b]$ следует найти производную функции, определить ее критические точки, выбрать те из них, что лежат внутри отрезка, вычислить значения функции в этих отобранных точках и на концах отрезка ($a$ и $b$), а затем из всех полученных значений выбрать самое большое (максимум) и самое маленькое (минимум).

40.1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$, $[-1; 3]$;

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$, $[0; 2]$;

3) $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 3$, $[-1; 4]$;

4) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$, $[-3; 0]$.

1) Для функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ на промежутке $[-1; 3]$:
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному промежутку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах промежутка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Решение:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.
2. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 6x - 3x^2 = 0$
$3x(2 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Обе точки принадлежат промежутку $[-1; 3]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-1) = 3(-1)^2 - (-1)^3 = 3 \cdot 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
$f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0$.
$f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.
$f(3) = 3(3)^2 - (3)^3 = 3 \cdot 9 - 27 = 27 - 27 = 0$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{4, 0, 4, 0\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 4.
Наименьшее значение функции на отрезке равно 0.
Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение 0.

2) Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ на промежутке $[0; 2]$:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 5)' = 4x^3 - 4x$.
2. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x-1)(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
3. Промежутку $[0; 2]$ принадлежат точки $x = 0$ (является концом отрезка) и $x = 1$. Точка $x = -1$ не принадлежит промежутку.
4. Вычисляем значения функции в точке $x = 1$ и на концах промежутка $[0; 2]$:
$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 5 = 5$.
$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$.
$f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 5 = 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{5, 4, 13\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 13.
Наименьшее значение функции на отрезке равно 4.
Ответ: наибольшее значение 13, наименьшее значение 4.

3) Для функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 3$ на промежутке $[-1; 4]$:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3 - 9x^2 - 3)' = 6x^2 - 18x$.
2. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 6x^2 - 18x = 0$
$6x(x - 3) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
3. Обе точки принадлежат промежутку $[-1; 4]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 3 = 2(-1) - 9(1) - 3 = -2 - 9 - 3 = -14$.
$f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 - 3 = -3$.
$f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 - 3 = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 - 3 = 54 - 81 - 3 = -30$.
$f(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 - 3 = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 - 3 = 128 - 144 - 3 = -19$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{-14, -3, -30, -19\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно -3.
Наименьшее значение функции на отрезке равно -30.
Ответ: наибольшее значение -3, наименьшее значение -30.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x-1}$ на промежутке $[-3; 0]$:
Область определения функции: $x \neq 1$. Заданный промежуток $[-3; 0]$ не содержит точку $x=1$, поэтому функция на нем непрерывна.
1. Находим производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2+8)'(x-1) - (x^2+8)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1) - (x^2+8) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 8}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x-1)^2}$.
2. Находим критические точки. Производная равна нулю, если числитель равен нулю:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета): корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
3. Промежутку $[-3; 0]$ принадлежит только точка $x = -2$. Точка $x=4$ не принадлежит промежутку.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = -2$ и на концах промежутка $[-3; 0]$:
$f(-3) = \frac{(-3)^2 + 8}{-3 - 1} = \frac{9 + 8}{-4} = -\frac{17}{4} = -4.25$.
$f(-2) = \frac{(-2)^2 + 8}{-2 - 1} = \frac{4 + 8}{-3} = \frac{12}{-3} = -4$.
$f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 - 1} = \frac{8}{-1} = -8$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{-4.25, -4, -8\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно -4.
Наименьшее значение функции на отрезке равно -8.
Ответ: наибольшее значение -4, наименьшее значение -8.

40.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$, $[0; 3];$

2) $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$, $[-2; 0];$

3) $f(x) = 2x^4 - 8x$, $[-2; 1];$

4) $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$, $[-1; 2].$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ на промежутке $[0; 3]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 = x^2 - 4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[0; 3]$. Точка $x=2$ принадлежит этому промежутку, а точка $x=-2$ — нет.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке $x=2$ и на концах промежутка $x=0$ и $x=3$:

$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0) = 0$.

$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{8}{3} - 8 = \frac{8 - 24}{3} = -\frac{16}{3}$.

$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 4(3) = \frac{27}{3} - 12 = 9 - 12 = -3$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$, $-\frac{16}{3}$ (что равно $-5\frac{1}{3}$) и $-3$. Наибольшее из этих значений равно $0$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-\frac{16}{3}$.

2) Для функции $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$ на промежутке $[-2; 0]$.

1. Перепишем функцию для удобства: $f(x) = -x^3 - x^2 + x - 1$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 - x^2 + x - 1)' = -3x^2 - 2x + 1$.

3. Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$: $-3x^2 - 2x + 1 = 0$, или $3x^2 + 2x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

4. Промежутку $[-2; 0]$ принадлежит только критическая точка $x=-1$.

5. Вычислим значения функции в точке $x=-1$ и на концах промежутка $x=-2$ и $x=0$:

$f(-2) = -(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 4 - 2 - 1 = 1$.

$f(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.

$f(0) = -(0)^3 - (0)^2 + 0 - 1 = -1$.

6. Сравниваем значения $\{1, -2, -1\}$. Наибольшее равно $1$, наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.

3) Для функции $f(x) = 2x^4 - 8x$ на промежутке $[-2; 1]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$: $8x^3 - 8 = 0 \implies 8x^3 = 8 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит промежутку $[-2; 1]$ и совпадает с его правым концом.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $x=-2$ и $x=1$:

$f(-2) = 2(-2)^4 - 8(-2) = 2 \cdot 16 + 16 = 32 + 16 = 48$.

$f(1) = 2(1)^4 - 8(1) = 2 - 8 = -6$.

5. Сравнивая значения $\{48, -6\}$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $48$, а наименьшее равно $-6$.

Ответ: наибольшее значение $48$, наименьшее значение $-6$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$ на промежутке $[-1; 2]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{x^4}{4} - 8x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 8 \cdot 2x = x^3 - 16x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$: $x^3 - 16x = 0 \implies x(x^2 - 16) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

3. Промежутку $[-1; 2]$ принадлежит только критическая точка $x=0$.

4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка $x=-1$ и $x=2$:

$f(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - 8(-1)^2 = \frac{1}{4} - 8 = -\frac{31}{4} = -7.75$.

$f(0) = \frac{0^4}{4} - 8(0)^2 = 0$.

$f(2) = \frac{2^4}{4} - 8(2)^2 = \frac{16}{4} - 32 = 4 - 32 = -28$.

5. Сравнивая значения $\{-\frac{31}{4}, 0, -28\}$, находим, что наибольшее значение равно $0$, а наименьшее равно $-28$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-28$.