Номер 40.1, страница 296 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$, $[-1; 3]$;

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$, $[0; 2]$;

3) $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 3$, $[-1; 4]$;

4) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$, $[-3; 0]$.

1) Для функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ на промежутке $[-1; 3]$:
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному промежутку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах промежутка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Решение:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.
2. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 6x - 3x^2 = 0$
$3x(2 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Обе точки принадлежат промежутку $[-1; 3]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-1) = 3(-1)^2 - (-1)^3 = 3 \cdot 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
$f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0$.
$f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.
$f(3) = 3(3)^2 - (3)^3 = 3 \cdot 9 - 27 = 27 - 27 = 0$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{4, 0, 4, 0\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 4.
Наименьшее значение функции на отрезке равно 0.
Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение 0.

2) Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ на промежутке $[0; 2]$:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 5)' = 4x^3 - 4x$.
2. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x-1)(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
3. Промежутку $[0; 2]$ принадлежат точки $x = 0$ (является концом отрезка) и $x = 1$. Точка $x = -1$ не принадлежит промежутку.
4. Вычисляем значения функции в точке $x = 1$ и на концах промежутка $[0; 2]$:
$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 5 = 5$.
$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$.
$f(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 5 = 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{5, 4, 13\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 13.
Наименьшее значение функции на отрезке равно 4.
Ответ: наибольшее значение 13, наименьшее значение 4.

3) Для функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 3$ на промежутке $[-1; 4]$:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3 - 9x^2 - 3)' = 6x^2 - 18x$.
2. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 6x^2 - 18x = 0$
$6x(x - 3) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
3. Обе точки принадлежат промежутку $[-1; 4]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 3 = 2(-1) - 9(1) - 3 = -2 - 9 - 3 = -14$.
$f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 - 3 = -3$.
$f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 - 3 = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 - 3 = 54 - 81 - 3 = -30$.
$f(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 - 3 = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 - 3 = 128 - 144 - 3 = -19$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{-14, -3, -30, -19\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно -3.
Наименьшее значение функции на отрезке равно -30.
Ответ: наибольшее значение -3, наименьшее значение -30.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x-1}$ на промежутке $[-3; 0]$:
Область определения функции: $x \neq 1$. Заданный промежуток $[-3; 0]$ не содержит точку $x=1$, поэтому функция на нем непрерывна.
1. Находим производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2+8)'(x-1) - (x^2+8)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1) - (x^2+8) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 8}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x-1)^2}$.
2. Находим критические точки. Производная равна нулю, если числитель равен нулю:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета): корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
3. Промежутку $[-3; 0]$ принадлежит только точка $x = -2$. Точка $x=4$ не принадлежит промежутку.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = -2$ и на концах промежутка $[-3; 0]$:
$f(-3) = \frac{(-3)^2 + 8}{-3 - 1} = \frac{9 + 8}{-4} = -\frac{17}{4} = -4.25$.
$f(-2) = \frac{(-2)^2 + 8}{-2 - 1} = \frac{4 + 8}{-3} = \frac{12}{-3} = -4$.
$f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 - 1} = \frac{8}{-1} = -8$.
5. Сравниваем полученные значения: $\{-4.25, -4, -8\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно -4.
Наименьшее значение функции на отрезке равно -8.
Ответ: наибольшее значение -4, наименьшее значение -8.