Номер 40.3, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$, $[-6; 8]$;

2) $f(x) = \sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}$, $[2; 4]$;

3) $f(x) = (x + 1)^2(x - 2)^2$, $[-2; 4]$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$, $[-4; -1]$.

1)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$ на отрезке $[-6; 8]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{100 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (100 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}.$

2. Находим критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \implies x = 0.$

Точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-6; 8]$. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = \pm10$, но эти точки не принадлежат отрезку $[-6; 8]$.

3. Вычисляем значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

$f(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10.$

$f(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.$

$f(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6.$

4. Сравниваем полученные значения: $10$, $8$ и $6$. Наибольшее из них $10$, а наименьшее $6$.

Ответ: наибольшее значение $10$, наименьшее значение $6$.

2)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}$ на отрезке $[2; 4]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{0.5x^2 + 3x + 5})' = \frac{1}{2\sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}} \cdot (0.5x^2 + 3x + 5)' = \frac{x+3}{2\sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}}.$

2. Найдем критические точки. Выражение под корнем $0.5x^2 + 3x + 5$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot 5 = 9 - 10 = -1 < 0$ и ветви параболы направлены вверх. Следовательно, производная определена для всех $x$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies x+3 = 0 \implies x=-3.$

Критическая точка $x=-3$ не принадлежит отрезку $[2; 4]$.

3. Так как на отрезке $[2; 4]$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=2$ и $x=4$:

$f(2) = \sqrt{0.5(2)^2 + 3(2) + 5} = \sqrt{0.5 \cdot 4 + 6 + 5} = \sqrt{2 + 6 + 5} = \sqrt{13}.$

$f(4) = \sqrt{0.5(4)^2 + 3(4) + 5} = \sqrt{0.5 \cdot 16 + 12 + 5} = \sqrt{8 + 12 + 5} = \sqrt{25} = 5.$

4. Сравниваем полученные значения. Так как $13 < 25$, то $\sqrt{13} < \sqrt{25}$, следовательно $\sqrt{13} < 5$.

Ответ: наибольшее значение $5$, наименьшее значение $\sqrt{13}$.

3)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$ на отрезке $[-2; 4]$.

1. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = ((x+1)(x-2))^2 = (x^2 - x - 2)^2$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = 2(x^2 - x - 2)^{1} \cdot (x^2 - x - 2)' = 2(x^2 - x - 2)(2x-1).$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2(x^2 - x - 2)(2x-1) = 0.$

Отсюда получаем два уравнения:

$x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$, корни $x_1 = 2, x_2 = -1$.

$2x - 1 = 0 \implies x_3 = 0.5.$

Все три критические точки $-1$, $0.5$, $2$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-2) = ((-2)+1)^2((-2)-2)^2 = (-1)^2(-4)^2 = 1 \cdot 16 = 16.$

$f(-1) = ((-1)+1)^2((-1)-2)^2 = 0^2(-3)^2 = 0.$

$f(0.5) = (0.5+1)^2(0.5-2)^2 = (1.5)^2(-1.5)^2 = 2.25 \cdot 2.25 = 5.0625 = \frac{81}{16}.$

$f(2) = (2+1)^2(2-2)^2 = 3^2 \cdot 0^2 = 0.$

$f(4) = (4+1)^2(4-2)^2 = 5^2 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100.$

5. Сравниваем полученные значения: $16, 0, 5.0625, 0, 100$.

Ответ: наибольшее значение $100$, наименьшее значение $0$.

4)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$ на отрезке $[-4; -1]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{x} + \frac{x}{2})' = (2x^{-1} + \frac{1}{2}x)' = -2x^{-2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2}.$

2. Найдем критические точки. Производная существует на всем заданном отрезке (так как $x=0$ не входит в него). Приравняем производную к нулю:

$-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$

Из этих двух точек отрезку $[-4; -1]$ принадлежит только $x=-2$.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=-2$ и на концах отрезка $x=-4$ и $x=-1$:

$f(-4) = \frac{2}{-4} + \frac{-4}{2} = -0.5 - 2 = -2.5.$

$f(-2) = \frac{2}{-2} + \frac{-2}{2} = -1 - 1 = -2.$

$f(-1) = \frac{2}{-1} + \frac{-1}{2} = -2 - 0.5 = -2.5.$

4. Сравниваем полученные значения: $-2.5$, $-2$ и $-2.5$.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-2.5$.