Номер 40.5, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sin x - \cos x$, $[0; \pi];$

2) $f(x) = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$, $\left[0; \frac{\pi}{6}\right];$

3) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x - \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$, найдем ее производную и критические точки.
Производная функции: $f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $\cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -\cos x$
Разделив обе части на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$), получаем: $\tan x = -1$
В промежутке $[0; \pi]$ это уравнение имеет один корень: $x = \frac{3\pi}{4}$.
Теперь вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка $[0; \pi]$:
$f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$.
$f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$.
$f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Сравнивая полученные значения $f(0)=-1$, $f(\pi)=1$ и $f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$, находим наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее значение: $\max_{x \in [0; \pi]} f(x) = \sqrt{2}$.
Наименьшее значение: $\min_{x \in [0; \pi]} f(x) = -1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$, наименьшее значение равно $-1$.

2) Для функции $f(x) = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$ найдем производную.
$f'(x) = \left(\sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot (4x)' = 4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$
$\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$
$4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$4x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{5\pi}{6} + k\pi$
$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4}$.
Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$. Заметим, что $\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{24}$. Наш отрезок $\left[0; \frac{4\pi}{24}\right]$. При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{24}$, что больше, чем $\frac{4\pi}{24}$, и не принадлежит отрезку. При $k < 0$, значения $x$ будут отрицательными, также не принадлежащими отрезку. При $k > 0$, значения $x$ будут еще больше. Следовательно, на интервале $\left(0; \frac{\pi}{6}\right)$ критических точек нет.
Значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=\frac{\pi}{6}$:
$f(0) = \sin\left(4 \cdot 0 - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наибольшее значение функции равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x\sqrt{3} - \cos(2x)$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x\sqrt{3} - \cos(2x))' = \sqrt{3} - (-\sin(2x) \cdot 2) = \sqrt{3} + 2\sin(2x)$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$: $\sqrt{3} + 2\sin(2x) = 0$
$2\sin(2x) = -\sqrt{3}$
$\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения этого уравнения имеют вид: $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ или $2x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$ или $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$.
Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Из первой серии корней при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{6}$, что принадлежит отрезку.
Из второй серии корней при $k=-1$ получаем $x = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$, что также принадлежит отрезку.
Других корней в заданном отрезке нет. Итак, у нас есть две критические точки: $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$.
Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:
На концах отрезка:
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \left(-\frac{\pi}{2}\right)\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(\pi) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
В критических точках:
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{\pi}{6}\right)\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}$.
$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \left(-\frac{\pi}{3}\right)\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.
Сравним полученные четыре значения.
Очевидно, что $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ является наибольшим значением, так как это единственное большое положительное число.
Среди остальных трех отрицательных значений $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx -1.72$, $-\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} \approx -1.41$ и $\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \approx -1.31$, наименьшим является $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.