Номер 40.6, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x, [0; \pi];$

2) $f(x) = 2\cos \left( 4x + \frac{\pi}{6} \right), \left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right].$

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ на промежутке $[0; \pi]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{3} \sin x + \cos x)' = \sqrt{3} \cos x - \sin x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0$

$\sqrt{3} \cos x = \sin x$

Предполагая, что $\cos x \neq 0$, разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\tan x = \sqrt{3}$

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

(Если бы $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение $\sqrt{3} \cdot 0 = \pm 1$ неверно, значит, наши действия правомерны).

3. Определим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[0; \pi]$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

При других целых значениях $n$ точки выходят за пределы указанного отрезка.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах промежутка.

Значение на левом конце промежутка:

$f(0) = \sqrt{3} \sin(0) + \cos(0) = \sqrt{3} \cdot 0 + 1 = 1$.

Значение на правом конце промежутка:

$f(\pi) = \sqrt{3} \sin(\pi) + \cos(\pi) = \sqrt{3} \cdot 0 + (-1) = -1$.

Значение в критической точке:

$f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

5. Сравним полученные значения: $1$, $-1$, $2$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $2$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $-1$.

Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $-1$.

2) Дана функция $f(x) = 2\cos(4x + \frac{\pi}{6})$ на промежутке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

Область значений функции $y = \cos t$ есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $f(x) = 2\cos(\dots)$ область значений есть отрезок $[-2; 2]$. Таким образом, наибольшее возможное значение функции равно $2$, а наименьшее $-2$.

Выясним, достигаются ли эти значения на заданном промежутке. Для этого определим, в каких пределах изменяется аргумент косинуса $t = 4x + \frac{\pi}{6}$, когда $x$ пробегает отрезок $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

1. Найдем значение аргумента $t$ на концах отрезка для $x$.

При $x = -\frac{\pi}{12}$ (левая граница):

$t_{min} = 4(-\frac{\pi}{12}) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

При $x = \frac{\pi}{3}$ (правая граница):

$t_{max} = 4(\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Итак, когда $x$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$, аргумент $t = 4x + \frac{\pi}{6}$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $g(t) = 2\cos t$ на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

Наибольшее значение функции $g(t)$ равно $2$. Оно достигается при $\cos t = 1$, то есть при $t = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, есть ли такие значения $t$ в отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$. При $n=0$, $t=0$. Так как $0 \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, то наибольшее значение функции достигается и равно $2$.

Наименьшее значение функции $g(t)$ равно $-2$. Оно достигается при $\cos t = -1$, то есть при $t = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, есть ли такие значения $t$ в отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$. При $n=0$, $t=\pi$. Так как $\pi \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, то наименьшее значение функции достигается и равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $-2$.