Номер 40.11, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.11. Представьте число 180 в виде суммы трёх неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.

40.11.

Пусть искомые три неотрицательных слагаемых будут $a$, $b$ и $c$. Согласно условиям задачи, мы имеем систему уравнений и ограничений:

$a + b + c = 180$

$a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$

Два из слагаемых относятся как 1:2. Без ограничения общности, пусть это будут слагаемые $a$ и $b$, так что $b = 2a$. Наша цель — максимизировать произведение $P = a \cdot b \cdot c$.

Выразим $c$ через $a$, подставив $b = 2a$ в уравнение суммы:

$a + 2a + c = 180 \implies 3a + c = 180 \implies c = 180 - 3a$

Теперь произведение $P$ можно представить как функцию одной переменной $a$:

$P(a) = a \cdot (2a) \cdot (180 - 3a) = 2a^2(180 - 3a) = 360a^2 - 6a^3$

Определим область допустимых значений для $a$. Так как все слагаемые неотрицательны, то:

$a \ge 0$

$c = 180 - 3a \ge 0 \implies 180 \ge 3a \implies a \le 60$

Следовательно, мы должны найти максимальное значение функции $P(a)$ на отрезке $[0, 60]$. Для этого найдем производную функции $P(a)$:

$P'(a) = (360a^2 - 6a^3)' = 720a - 18a^2$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$720a - 18a^2 = 0$

$18a(40 - a) = 0$

Критические точки: $a = 0$ и $a = 40$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 60]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, вычислим её значения в критических точках и на концах отрезка:

$P(0) = 360 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0^3 = 0$

$P(40) = 360 \cdot 40^2 - 6 \cdot 40^3 = 360 \cdot 1600 - 6 \cdot 64000 = 576000 - 384000 = 192000$

$P(60) = 360 \cdot 60^2 - 6 \cdot 60^3 = 0$

Наибольшее значение произведения достигается при $a = 40$. Теперь найдем остальные слагаемые:

$a = 40$

$b = 2a = 2 \cdot 40 = 80$

$c = 180 - 3a = 180 - 3 \cdot 40 = 180 - 120 = 60$

Проверка: $40 + 80 + 60 = 180$. Отношение $40:80$ равно $1:2$. Все условия выполнены.

Ответ: искомые слагаемые — 40, 80 и 60.