Номер 40.17, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.17. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 12 - x^2$, $D(y) = [-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}]$, а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Условие задачи описывает прямоугольник, две вершины которого лежат на оси абсцисс (ось $Ox$), а две другие — на графике функции $y = 12 - x^2$. График этой функции — парабола, симметричная относительно оси ординат (оси $Oy$), с ветвями, направленными вниз.

Для того чтобы площадь прямоугольника была максимальной, его стороны должны быть параллельны осям координат. В силу симметрии параболы относительно оси $Oy$, прямоугольник также будет симметричен относительно этой оси.

Пусть одна из вершин прямоугольника, лежащая на параболе в первой координатной четверти, имеет координаты $(x, y)$, где $x > 0$. Тогда, в силу симметрии, остальные вершины будут иметь координаты: $(-x, y)$, $(-x, 0)$ и $(x, 0)$.

Длина основания прямоугольника, лежащего на оси абсцисс, будет равна $x - (-x) = 2x$. Высота прямоугольника будет равна ординате $y$. Поскольку вершина $(x, y)$ лежит на параболе, ее координата $y$ равна $12 - x^2$.

Таким образом, высота прямоугольника равна $12 - x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ можно выразить как функцию от $x$: $S(x) = (\text{длина}) \cdot (\text{высота}) = 2x \cdot (12 - x^2) = 24x - 2x^3$.

Согласно условию, область определения функции $D(y) = [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$. Это означает, что абсцисса $x$ может принимать значения из этого отрезка. Поскольку мы выбрали $x$ как положительную величину (половина основания), то $x$ должен находиться в интервале $(0, 2\sqrt{3}]$. При $x=2\sqrt{3}$ высота $y=12-(2\sqrt{3})^2=12-12=0$, и площадь равна нулю. При $x \to 0$ площадь также стремится к нулю.

Для нахождения наибольшего значения площади найдем максимум функции $S(x)$ на интервале $(0, 2\sqrt{3})$. Для этого вычислим производную функции $S(x)$: $S'(x) = (24x - 2x^3)' = 24 - 6x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $24 - 6x^2 = 0$ $6x^2 = 24$ $x^2 = 4$

Поскольку $x > 0$, нас интересует корень $x = 2$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу $(0, 2\sqrt{3})$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную: $S''(x) = (24 - 6x^2)' = -12x$.

В точке $x=2$ вторая производная $S''(2) = -12 \cdot 2 = -24$. Так как $S''(2) < 0$, точка $x=2$ является точкой максимума.

Теперь вычислим значение наибольшей площади, подставив $x = 2$ в выражение для площади $S(x)$: $S_{max} = S(2) = 2 \cdot 2 \cdot (12 - 2^2) = 4 \cdot (12 - 4) = 4 \cdot 8 = 32$.

Ответ: 32