Номер 40.18, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.18. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 0,5x^2$, $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$, а две другие – прямой $y = 9$. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть вершины прямоугольника расположены в точках с координатами $(-x, 9)$, $(x, 9)$, $(x, 0.5x^2)$ и $(-x, 0.5x^2)$. Такое расположение следует из того, что две вершины лежат на прямой $y=9$, две другие — на параболе $y=0.5x^2$, а стороны прямоугольника должны быть параллельны осям координат. Симметрия параболы $y=0.5x^2$ относительно оси $Oy$ обеспечивает симметрию всего прямоугольника.

Обозначим через $x$ положительную абсциссу вершин, лежащих в правой полуплоскости. Тогда ширина прямоугольника будет равна $w = x - (-x) = 2x$.

Высота прямоугольника будет равна разности ординат верхней и нижней сторон: $h = 9 - 0.5x^2$.

Для того чтобы фигура была прямоугольником, ее высота и ширина должны быть положительными. Отсюда $x > 0$ и $9 - 0.5x^2 > 0$. Решим второе неравенство:

$0.5x^2 < 9 \implies x^2 < 18 \implies x < \sqrt{18} \implies x < 3\sqrt{2}$.

Таким образом, $x$ должен находиться в интервале $(0, 3\sqrt{2})$. Это согласуется с областью определения, указанной в задаче, $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$ (предполагая, что это область определения по $x$).

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$:

$S(x) = w \cdot h = (2x)(9 - 0.5x^2) = 18x - x^3$.

Для нахождения наибольшего значения площади найдем производную функции $S(x)$ и определим ее критические точки:

$S'(x) = \frac{d}{dx}(18x - x^3) = 18 - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю:

$18 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 18 \implies x^2 = 6$.

Так как мы ищем $x > 0$, получаем $x = \sqrt{6}$. Эта точка принадлежит нашему интервалу $(0, 3\sqrt{2})$, поскольку $6 < 18$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, используем вторую производную:

$S''(x) = \frac{d}{dx}(18 - 3x^2) = -6x$.

В точке $x=\sqrt{6}$ вторая производная $S''(\sqrt{6}) = -6\sqrt{6}$ отрицательна, следовательно, в этой точке функция $S(x)$ достигает локального максимума. Поскольку это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале, этот максимум является наибольшим значением.

Вычислим значение максимальной площади, подставив $x = \sqrt{6}$ в формулу для площади:

$S_{max} = S(\sqrt{6}) = 18\sqrt{6} - (\sqrt{6})^3 = 18\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $12\sqrt{6}$.