Номер 40.16, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.16. В полукруг радиуса 6 см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть полукруг расположен в верхней полуплоскости системы координат, а его диаметр — на оси Ox, с центром в начале координат (0, 0). Тогда уравнение полуокружности имеет вид $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, где радиус $R = 6$ см. Таким образом, уравнение дуги полукруга: $y = \sqrt{36 - x^2}$.

Прямоугольник вписан в полукруг так, что одна его сторона (основание) лежит на диаметре, а две другие вершины — на дуге полуокружности. Обозначим вершины прямоугольника как $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$.

При такой конфигурации стороны прямоугольника будут равны $2x$ (длина основания) и $y$ (высота). Связь между $x$ и $y$ определяется тем, что вершина $(x, y)$ лежит на полуокружности, то есть $y = \sqrt{36 - x^2}$. Область определения для $x$ - это интервал $(0, 6)$.

Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой:$P = 2(\text{длина} + \text{высота}) = 2(2x + y)$Чтобы найти прямоугольник с наибольшим периметром, нужно найти максимум функции периметра. Подставим выражение для $y$ через $x$, чтобы получить функцию одной переменной $P(x)$:$P(x) = 2(2x + \sqrt{36 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{36 - x^2}$

Для нахождения максимума функции $P(x)$ на интервале $(0, 6)$, найдем ее производную по $x$:$P'(x) = (4x + 2\sqrt{36 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (36 - x^2)' = 4 + \frac{-2x}{\sqrt{36 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:$P'(x) = 0$$4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}} = 0$$4 = \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$$2 = \frac{x}{\sqrt{36 - x^2}}$$2\sqrt{36 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая что $x>0$:$4(36 - x^2) = x^2$$144 - 4x^2 = x^2$$5x^2 = 144$$x^2 = \frac{144}{5}$Поскольку $x > 0$, извлекаем корень:$x = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Полученное значение $x$ принадлежит интервалу $(0, 6)$. Проверим, что это точка максимума. Можно исследовать знак производной $P'(x)$ слева и справа от найденной точки.При $x < \frac{12\sqrt{5}}{5}$, производная $P'(x) > 0$ (функция возрастает).При $x > \frac{12\sqrt{5}}{5}$, производная $P'(x) < 0$ (функция убывает).Следовательно, в точке $x = \frac{12\sqrt{5}}{5}$ функция $P(x)$ достигает своего максимума.

Теперь найдем размеры сторон прямоугольника при этом значении $x$.Длина прямоугольника равна $2x$:$2x = 2 \cdot \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{24\sqrt{5}}{5}$ см.

Высота прямоугольника равна $y$:$y = \sqrt{36 - x^2} = \sqrt{36 - \frac{144}{5}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 5 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{180 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{24\sqrt{5}}{5}$ см и $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.