Номер 41.1, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.1. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 3x - x^3 - 2$;

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$;

3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9}$;

4) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$;

5) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$;

6) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$;

7) $f(x) = (x+3)^2(x-1)^2$.

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность.

Найдем $f(-x) = 3(-x) - (-x)^3 - 2 = -3x + x^3 - 2 = -(3x - x^3 + 2)$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Функция не периодична.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$, $y = f(0) = 3(0) - 0^3 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.

С осью Ox: при $y=0$, $3x - x^3 - 2 = 0$, или $x^3 - 3x + 2 = 0$. Замечаем, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 3(1) + 2 = 0$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $x^2 + x - 2$. Корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ — это $x=1$ и $x=-2$. Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $x=1$ корень имеет кратность 2, что говорит о касании графика оси Ox.

4. Асимптоты.

Поскольку функция является многочленом, вертикальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = (3x - x^3 - 2)' = 3 - 3x^2 = 3(1-x^2) = 3(1-x)(1+x)$.

Критические точки (где $f'(x)=0$): $x=-1$ и $x=1$.

Определим знаки производной на интервалах:

• На $(-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(-1; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На $(1; \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=-1$ происходит смена с убывания на возрастание, значит, это точка локального минимума: $f(-1) = 3(-1) - (-1)^3 - 2 = -3 + 1 - 2 = -4$. Точка минимума $(-1; -4)$.

В точке $x=1$ происходит смена с возрастания на убывание, значит, это точка локального максимума: $f(1) = 3(1) - 1^3 - 2 = 0$. Точка максимума $(1; 0)$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (3 - 3x^2)' = -6x$.

Найдем точку, где $f''(x)=0$: $x=0$.

Определим знаки второй производной:

• На $(-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
• На $(0; \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

В точке $x=0$ меняется направление выпуклости, следовательно, это точка перегиба. $f(0) = -2$. Точка перегиба $(0; -2)$.

7. Построение графика.

На основе анализа строим график. Ключевые точки: пересечение с осями $(-2; 0), (1; 0), (0; -2)$, экстремумы $(-1; -4)$ (min), $(1; 0)$ (max), точка перегиба $(0; -2)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; -1] \cup [1; \infty)$ и возрастает на $[-1; 1]$. Локальный минимум в точке $(-1; -4)$, локальный максимум в точке $(1; 0)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0)$ и выпуклый вверх на $(0; \infty)$, точка перегиба $(0; -2)$. График пересекает оси в точках $(-2;0)$, $(1;0)$ и $(0;-2)$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность: $f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 + 5 = -2x^3 - 3x^2 + 5$. Функция общего вида. Не периодична.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = 5$. Точка $(0; 5)$.

С осью Ox: $y=0 \Rightarrow 2x^3 - 3x^2 + 5 = 0$. Подбором находим корень $x=-1$: $2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5 = -2 - 3 + 5 = 0$. Разделив многочлен на $(x+1)$, получим $2x^2 - 5x + 5$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-5)^2 - 4(2)(5) = 25 - 40 = -15 < 0$, поэтому других действительных корней нет. Единственная точка пересечения с Ox: $(-1; 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$. Критические точки: $x=0, x=1$.

• На $(-\infty; 0) \cup (1; \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На $(0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точка локального максимума: $x=0$, $y_{max}=f(0)=5$. Точка $(0; 5)$.

Точка локального минимума: $x=1$, $y_{min}=f(1)=2-3+5=4$. Точка $(1; 4)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:

$f''(x) = 12x - 6 = 6(2x - 1)$. Точка перегиба при $f''(x)=0 \Rightarrow x=1/2$.

• На $(-\infty; 1/2)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
• На $(1/2; \infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

Точка перегиба: $x=1/2$, $y=f(1/2) = 2(1/8) - 3(1/4) + 5 = 1/4 - 3/4 + 5 = 4.5$. Точка $(0.5; 4.5)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [1; \infty)$ и убывает на $[0; 1]$. Локальный максимум в точке $(0; 5)$, локальный минимум в точке $(1; 4)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; 0.5)$ и выпуклый вниз на $(0.5; \infty)$, точка перегиба $(0.5; 4.5)$. Пересечение с осями в точках $(-1; 0)$ и $(0; 5)$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность: $f(-x) = 3(-x) - \frac{(-x)^3}{9} = -3x + \frac{x^3}{9} = -(3x - \frac{x^3}{9}) = -f(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат. Не периодична.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $y=0 \Rightarrow 3x - \frac{x^3}{9} = 0 \Rightarrow x(3 - \frac{x^2}{9}) = 0$. Корни: $x=0$, и $x^2=27 \Rightarrow x = \pm 3\sqrt{3}$. Точки: $(0; 0)$, $(-3\sqrt{3}; 0)$, $(3\sqrt{3}; 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = 3 - \frac{3x^2}{9} = 3 - \frac{x^2}{3} = \frac{9-x^2}{3}$. Критические точки: $x=\pm 3$.

• На $(-\infty; -3) \cup (3; \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(-3; 3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Точка локального минимума: $x=-3$, $y_{min}=f(-3) = 3(-3) - \frac{(-3)^3}{9} = -9 + 3 = -6$. Точка $(-3; -6)$.

Точка локального максимума: $x=3$, $y_{max}=f(3) = 3(3) - \frac{3^3}{9} = 9 - 3 = 6$. Точка $(3; 6)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:

$f''(x) = -\frac{2x}{3}$. Точка перегиба при $f''(x)=0 \Rightarrow x=0$.

• На $(-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• На $(0; \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точка перегиба: $(0; f(0)) = (0; 0)$.

Ответ: Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Убывает на $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$ и возрастает на $[-3; 3]$. Локальный минимум в точке $(-3; -6)$, локальный максимум в точке $(3; 6)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0)$ и выпуклый вверх на $(0; \infty)$, точка перегиба $(0; 0)$. Пересечение с осями в точках $(-3\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(3\sqrt{3}; 0)$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$. Функция общего вида. Не периодична.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=2$. Точка $(0; 2)$.

С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$: $1-3+2=0$. Делением на $(x-1)$ получаем $x^2 - 2x - 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки пересечения с Ox: $(1-\sqrt{3}; 0)$, $(1; 0)$, $(1+\sqrt{3}; 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Критические точки: $x=0, x=2$.

• На $(-\infty; 0) \cup (2; \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На $(0; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точка локального максимума: $x=0$, $y_{max}=f(0)=2$. Точка $(0; 2)$.

Точка локального минимума: $x=2$, $y_{min}=f(2)=8-12+2=-2$. Точка $(2; -2)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:

$f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$. Точка перегиба при $f''(x)=0 \Rightarrow x=1$.

• На $(-\infty; 1)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
• На $(1; \infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

Точка перегиба: $x=1$, $y=f(1)=1-3+2=0$. Точка $(1; 0)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; \infty)$ и убывает на $[0; 2]$. Локальный максимум в точке $(0; 2)$, локальный минимум в точке $(2; -2)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; 1)$ и выпуклый вниз на $(1; \infty)$, точка перегиба $(1; 0)$. Пересечение с осями в точках $(1-\sqrt{3}; 0)$, $(1; 0)$, $(1+\sqrt{3}; 0)$ и $(0; 2)$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность: $f(-x) = \frac{3}{2}(-x)^2 - (-x)^3 = \frac{3}{2}x^2 + x^3$. Функция общего вида. Не периодична.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3}{2}x^2 - x^3 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{3}{2} - x) = 0$. Корни: $x=0$ (кратность 2) и $x=3/2$. Точки: $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$. В точке $(0;0)$ график касается оси Ox.

4. Асимптоты: Отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = 3x - 3x^2 = 3x(1-x)$. Критические точки: $x=0, x=1$.

• На $(-\infty; 0) \cup (1; \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(0; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Точка локального минимума: $x=0$, $y_{min}=f(0)=0$. Точка $(0; 0)$.

Точка локального максимума: $x=1$, $y_{max}=f(1)=\frac{3}{2}-1=0.5$. Точка $(1; 0.5)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:

$f''(x) = 3 - 6x = 3(1-2x)$. Точка перегиба при $f''(x)=0 \Rightarrow x=1/2$.

• На $(-\infty; 1/2)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• На $(1/2; \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точка перегиба: $x=0.5$, $y=f(0.5)=\frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}-\frac{1}{8}=\frac{2}{8}=0.25$. Точка $(0.5; 0.25)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; 0] \cup [1; \infty)$ и возрастает на $[0; 1]$. Локальный минимум в точке $(0; 0)$, локальный максимум в точке $(1; 0.5)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0.5)$ и выпуклый вверх на $(0.5; \infty)$, точка перегиба $(0.5; 0.25)$. Пересечение с осями в точках $(0; 0)$ (касание) и $(1.5; 0)$.

Функцию можно записать как $f(x) = (x^2-1)^2 = ((x-1)(x+1))^2$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность: $f(-x) = ((-x)^2-1)^2 = (x^2-1)^2 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy. Не периодична.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=1$. Точка $(0; 1)$.

С осью Ox: $y=0 \Rightarrow (x^2-1)^2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$. Точки: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$. В обеих точках график касается оси Ox.

4. Асимптоты: Отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1)$. Критические точки: $x=-1, x=0, x=1$.

• На $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(-1; 0) \cup (1; \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Точки локального минимума: $x=-1$, $y_{min}=f(-1)=0$ (точка $(-1; 0)$) и $x=1$, $y_{min}=f(1)=0$ (точка $(1; 0)$).

Точка локального максимума: $x=0$, $y_{max}=f(0)=1$ (точка $(0; 1)$).

6. Выпуклость и точки перегиба:

$f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2-1)$. Точки перегиба при $f''(x)=0 \Rightarrow x^2=1/3 \Rightarrow x=\pm 1/\sqrt{3}$.

• На $(-\infty; -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}; \infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• На $(-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точки перегиба: $x=\pm 1/\sqrt{3}$. $y=f(\pm 1/\sqrt{3}) = ((1/\sqrt{3})^2-1)^2 = (1/3-1)^2 = (-2/3)^2=4/9$. Точки $(\pm 1/\sqrt{3}; 4/9)$.

Ответ: Функция четная. Убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$ и возрастает на $[-1; 0] \cup [1; \infty)$. Локальные минимумы в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$, локальный максимум в точке $(0; 1)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}; \infty)$ и выпуклый вверх на $(-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{3}; 4/9)$.

Функцию можно записать как $f(x) = ((x+3)(x-1))^2 = (x^2+2x-3)^2$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность: $f(-x) = ((-x)^2+2(-x)-3)^2 = (x^2-2x-3)^2$. Функция общего вида. Однако, график симметричен относительно прямой $x=-1$ (середина между корнями -3 и 1). Не периодична.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=(0+3)^2(0-1)^2=9$. Точка $(0; 9)$.

С осью Ox: $y=0 \Rightarrow (x+3)^2(x-1)^2=0 \Rightarrow x=-3, x=1$. Точки: $(-3; 0)$ и $(1; 0)$. В обеих точках график касается оси Ox.

4. Асимптоты: Отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и экстремумы:

$f'(x) = 2(x^2+2x-3)(2x+2) = 4(x+1)(x+3)(x-1)$. Критические точки: $x=-3, x=-1, x=1$.

• На $(-\infty; -3) \cup (-1; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(-3; -1) \cup (1; \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Точки локального минимума: $x=-3$, $y_{min}=f(-3)=0$ (точка $(-3; 0)$) и $x=1$, $y_{min}=f(1)=0$ (точка $(1; 0)$).

Точка локального максимума: $x=-1$, $y_{max}=f(-1)=(-1+3)^2(-1-1)^2 = 2^2(-2)^2=16$. Точка $(-1; 16)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:

$f'(x)=4(x^3+3x^2-x-3)$, тогда $f''(x) = 4(3x^2+6x-1)$. Точки перегиба при $3x^2+6x-1=0$. $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(3)(-1)}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = -1 \pm \frac{4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

• На $(-\infty; -1-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}; \infty)$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.
• На $(-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}; -1+\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

В точках перегиба $x^2+2x = 1/3$. $y=f(x)=(x^2+2x-3)^2 = (1/3-3)^2 = (-8/3)^2=64/9$. Точки перегиба $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; 64/9)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; -3] \cup [-1; 1]$ и возрастает на $[-3; -1] \cup [1; \infty)$. Локальные минимумы в точках $(-3; 0)$ и $(1; 0)$, локальный максимум в точке $(-1; 16)$. График симметричен относительно прямой $x=-1$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -1-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}; \infty)$ и выпуклый вверх на $(-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}; -1+\frac{2\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба: $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; 64/9)$.