Номер 1, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = x^3;$

2) $y = x^2 - 2x + 5;$

3) $y = \frac{1}{x};$

4) $y = \sqrt{x};$

5) $y = \cos x;$

6) $y = (2x - 1)^5;$

7) $y = \sin 3x;$

8) $y = \cos^2 x;$

9) $y = \sin \frac{x}{4};$

10) $y = x \sin x.$

1) $y = x^3$;
Чтобы найти вторую производную функции, необходимо найти ее первую производную, а затем найти производную от полученной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (y')' = (3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
Ответ: $6x$.

2) $y = x^2 - 2x + 5$;
Находим первую производную, дифференцируя функцию почленно:
$y' = (x^2 - 2x + 5)' = (x^2)' - (2x)' + (5)' = 2x - 2 + 0 = 2x - 2$.
Находим вторую производную, дифференцируя первую производную:
$y'' = (2x - 2)' = (2x)' - (2)' = 2 - 0 = 2$.
Ответ: $2$.

3) $y = \frac{1}{x}$;
Представим функцию в виде степени: $y = x^{-1}$.
Находим первую производную по правилу дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Находим вторую производную:
$y'' = (-x^{-2})' = -(-2) \cdot x^{-2-1} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.
Ответ: $\frac{2}{x^3}$.

4) $y = \sqrt{x}$;
Представим функцию в виде степени: $y = x^{1/2}$.
Находим первую производную:
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Находим вторую производную:
$y'' = (\frac{1}{2} x^{-1/2})' = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{4} x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.
Ответ: $-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

5) $y = \cos x$;
Находим первую производную:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Находим вторую производную:
$y'' = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.
Ответ: $-\cos x$.

6) $y = (2x - 1)^5$;
Используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = ((2x - 1)^5)' = 5(2x - 1)^{5-1} \cdot (2x - 1)' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (10(2x - 1)^4)' = 10 \cdot 4(2x - 1)^{4-1} \cdot (2x - 1)' = 40(2x - 1)^3 \cdot 2 = 80(2x - 1)^3$.
Ответ: $80(2x - 1)^3$.

7) $y = \sin 3x$;
Используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = (\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (3\cos(3x))' = 3 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 3(-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\sin(3x)$.
Ответ: $-9\sin(3x)$.

8) $y = \cos^2 x$;
Представим функцию как $y = (\cos x)^2$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = ((\cos x)^2)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, упростим выражение: $y' = -\sin(2x)$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (-\sin(2x))' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -2\cos(2x)$.
Ответ: $-2\cos(2x)$.

9) $y = \sin \frac{x}{4}$;
Используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = (\sin \frac{x}{4})' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot (\frac{x}{4})' = \frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4})$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4}))' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin(\frac{x}{4})) \cdot (\frac{x}{4})' = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{16}\sin(\frac{x}{4})$.
Ответ: $-\frac{1}{16}\sin(\frac{x}{4})$.

10) $y = x \sin x$;
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Первая производная $y'$:
$y' = (x \sin x)' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (\sin x + x \cos x)' = (\sin x)' + (x \cos x)'$.
Применяем правило произведения для второго слагаемого:
$y'' = \cos x + ((x)'\cos x + x(\cos x)') = \cos x + (1 \cdot \cos x + x(-\sin x)) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$.
Ответ: $2\cos x - x \sin x$.