Номер 41.2, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.2. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2;$

2) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3;$

3) $f(x) = x - x^3;$

4) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2;$

5) $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4.$

1) Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2$ и построим её график.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 = -x^3 + 3x^2$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3 + 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x+3) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x=-3$. Точки $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных и наклонных асимптот нет, так как функция является многочленом.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x+2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-2$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$. Точка максимума $(-2, 4)$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$. Точка минимума $(0, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$.
Найдем точки, где вторая производная равна нулю: $6x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x \in (-1; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x=-1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y = f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2$. Точка перегиба $(-1, 2)$.

7. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 3x^2) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 3x^2) = -\infty$.

8. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Ключевые точки: $(-3, 0)$ и $(0, 0)$ - пересечение с OX; $(0, 0)$ - пересечение с OY; $(-2, 4)$ - точка максимума; $(0, 0)$ - точка минимума; $(-1, 2)$ - точка перегиба. График идет из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-2, 4)$, затем убывает до точки минимума $(0, 0)$, проходя через точку перегиба $(-1, 2)$, и после точки минимума возрастает до $+\infty$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(-3, 0)$ и $(0, 0)$, максимум $(-2, 4)$, минимум $(0, 0)$, точка перегиба $(-1, 2)$.

2) Исследуем функцию $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = 4(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3 = -4x + \frac{1}{3}x^3 = -(4x - \frac{1}{3}x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow 4x - \frac{1}{3}x^3 = 0 \Rightarrow x(4 - \frac{1}{3}x^2) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$. Точки $(0, 0)$, $(-2\sqrt{3}, 0)$, $(2\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 4 - x^2 = (2-x)(2+x)$.
Критические точки: $x_1=2, x_2=-2$.
- $x \in (-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (-2; 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.
$x=-2$ - точка минимума. $y_{min} = f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{3}(-8) = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$. Точка $(-2, -16/3)$.
$x=2$ - точка максимума. $y_{max} = f(2) = 4(2) - \frac{1}{3}(8) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$. Точка $(2, 16/3)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = -2x$.
$f''(x) = 0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty; 0)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (0; +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
$x=0$ - точка перегиба. $y = f(0) = 0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} (4x - \frac{1}{3}x^3) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (4x - \frac{1}{3}x^3) = +\infty$.

8. Построение графика:
Ключевые точки: пересечения с осями $(\pm 2\sqrt{3}, 0), (0, 0)$; минимум $(-2, -16/3)$; максимум $(2, 16/3)$; точка перегиба $(0, 0)$. График идет из $+\infty$, убывает до минимума, затем возрастает через точку перегиба $(0,0)$ до максимума, и далее убывает в $-\infty$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 2\sqrt{3}, 0)$, минимум $(-2, -16/3)$, максимум $(2, 16/3)$, точка перегиба $(0, 0)$.

3) Исследуем функцию $f(x) = x - x^3$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow x - x^3 = 0 \Rightarrow x(1 - x^2) = 0$. Отсюда $x=0, x=1, x=-1$. Точки $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 1 - 3x^2$.
Критические точки: $1 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3})$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (1/\sqrt{3}; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.
$x = -1/\sqrt{3}$ - точка минимума. $y_{min} = f(-1/\sqrt{3}) = -1/\sqrt{3} - (-1/\sqrt{3})^3 = -1/\sqrt{3} + 1/(3\sqrt{3}) = -2/(3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}/9$. Точка $(-1/\sqrt{3}, -2\sqrt{3}/9)$.
$x = 1/\sqrt{3}$ - точка максимума. $y_{max} = f(1/\sqrt{3}) = 1/\sqrt{3} - (1/\sqrt{3})^3 = 2\sqrt{3}/9$. Точка $(1/\sqrt{3}, 2\sqrt{3}/9)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = -6x$.
$f''(x) = 0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty; 0)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (0; +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
$x=0$ - точка перегиба. $y=f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} (x - x^3) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x - x^3) = +\infty$.

8. Построение графика:
Ключевые точки: пересечения с осями $(-1, 0), (0, 0), (1, 0)$; минимум $(-1/\sqrt{3}, -2\sqrt{3}/9)$; максимум $(1/\sqrt{3}, 2\sqrt{3}/9)$; точка перегиба $(0, 0)$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 1, 0)$, минимум $(-1/\sqrt{3}, -2\sqrt{3}/9)$, максимум $(1/\sqrt{3}, 2\sqrt{3}/9)$, точка перегиба $(0, 0)$.

4) Исследуем функцию $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{(-x)^4}{2} - 4(-x)^2 = \frac{x^4}{2} - 4x^2 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow \frac{x^4}{2} - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{x^2}{2} - 4) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x^2=8 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}$. Точки $(0, 0)$, $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x-2)(x+2)$.
Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.
- $x \in (-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (-2; 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (0; 2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
$x=-2$ - точка минимума. $y_{min} = f(-2) = \frac{16}{2} - 4(4) = 8 - 16 = -8$. Точка $(-2, -8)$.
$x=0$ - точка максимума. $y_{max} = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
$x=2$ - точка минимума. $y_{min} = f(2) = -8$. Точка $(2, -8)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 6x^2 - 8 = 2(3x^2-4)$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x^2=4/3 \Rightarrow x=\pm 2/\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty; -2/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, выпуклый вниз.
- $x \in (-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, выпуклый вверх.
- $x \in (2/\sqrt{3}; +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклый вниз.
$x = \pm 2/\sqrt{3}$ - точки перегиба. $y=f(\pm 2/\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(\frac{16}{9}) - 4(\frac{4}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{16}{3} = -\frac{40}{9}$. Точки $(\pm 2/\sqrt{3}, -40/9)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^4}{2} - 4x^2) = +\infty$.

8. Построение графика:
График имеет форму буквы 'W'. Ключевые точки: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 2\sqrt{2}, 0)$; минимумы $(-2, -8)$ и $(2, -8)$; максимум $(0, 0)$; точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, -40/9)$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 2\sqrt{2}, 0)$, минимумы $(-2, -8), (2, -8)$, максимум $(0, 0)$, точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, -40/9)$.

5) Исследуем функцию $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = 8(-x)^2 - 7 - (-x)^4 = 8x^2 - 7 - x^4 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y = -7$. Точка $(0, -7)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow -x^4 + 8x^2 - 7 = 0 \Rightarrow x^4 - 8x^2 + 7 = 0$. Пусть $t=x^2, t \ge 0$. $t^2 - 8t + 7 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-7)=0$. $t_1=1, t_2=7$.
$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$.
$x^2=7 \Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$.
Точки $(\pm 1, 0)$ и $(\pm \sqrt{7}, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 16x - 4x^3 = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$.
Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.
- $x \in (-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (-2; 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (0; 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.
$x=-2$ - точка максимума. $y_{max} = f(-2) = 8(4)-7-16 = 32-7-16=9$. Точка $(-2, 9)$.
$x=0$ - точка минимума. $y_{min} = f(0) = -7$. Точка $(0, -7)$.
$x=2$ - точка максимума. $y_{max} = f(2) = 9$. Точка $(2, 9)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 16 - 12x^2 = 4(4-3x^2)$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x^2=4/3 \Rightarrow x=\pm 2/\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty; -2/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, выпуклый вверх.
- $x \in (-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, выпуклый вниз.
- $x \in (2/\sqrt{3}; +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклый вверх.
$x = \pm 2/\sqrt{3}$ - точки перегиба. $y=f(\pm 2/\sqrt{3}) = 8(\frac{4}{3}) - 7 - (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{3}-7-\frac{16}{9} = \frac{96-63-16}{9} = \frac{17}{9}$. Точки $(\pm 2/\sqrt{3}, 17/9)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to \pm\infty} (8x^2 - 7 - x^4) = -\infty$.

8. Построение графика:
График имеет форму перевернутой буквы 'W' (или буквы 'M'). Ключевые точки: пересечение с OY $(0, -7)$, пересечения с OX $(\pm 1, 0), (\pm \sqrt{7}, 0)$; максимумы $(-2, 9)$ и $(2, 9)$; минимум $(0, -7)$; точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, 17/9)$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(\pm 1, 0), (\pm \sqrt{7}, 0), (0, -7)$, максимумы $(-2, 9), (2, 9)$, минимум $(0, -7)$, точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, 17/9)$.