Номер 40.20, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.20. Начертите график какой-нибудь непрерывной функции такой, что: областью определения является промежуток $ [-4; 3] $; областью значений является промежуток $ [-5; 3] $; нули функции равны $ -2 $ и $ 2 $; функция убывает на каждом из промежутков $ [-4; -1] $ и $ [2; 3] $, возрастает на промежутке $ [-1; 2] $.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, проанализируем каждое из них, определим ключевые точки и характер поведения функции на различных промежутках.

Анализ условий задачи

• Область определения $D(f) = [-4; 3]$: График функции существует только для значений $x$ от $-4$ до $3$ включительно. Это означает, что у графика будут две конечные точки: при $x = -4$ и $x = 3$.
• Область значений $E(f) = [-5; 3]$: Наименьшее значение функции (глобальный минимум) равно $-5$, а наибольшее (глобальный максимум) равно $3$. Весь график должен находиться между горизонтальными линиями $y = -5$ и $y = 3$.
• Нули функции $f(x)=0$ при $x = -2$ и $x = 2$: График пересекает ось абсцисс в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутках $[-4; -1]$ и $[2; 3]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[-1; 2]$.

Определение координат ключевых точек

Из анализа промежутков монотонности следует, что:

• В точке $x = -1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.

Теперь объединим все условия для нахождения координат ключевых точек:

• В точке $x = 2$ находится локальный максимум, и при этом $f(2) = 0$. Значит, точка локального максимума — это $(2; 0)$.
• Глобальный максимум функции равен $3$. Поскольку локальный максимум в точке $(2,0)$ равен $0$, глобальный максимум должен достигаться на одном из концов области определения. Функция убывает на $[-4; -1]$, значит $f(-4) > f(-1)$. Функция убывает на $[2; 3]$, значит $f(2) > f(3)$. Следовательно, кандидатом на глобальный максимум является значение функции в точке $x = -4$. Примем $f(-4) = 3$. Таким образом, одна из конечных точек графика — $(-4; 3)$.
• Глобальный минимум функции равен $-5$. В точке $x = -1$ находится локальный минимум. Логично предположить, что именно в этой точке достигается глобальный минимум. Итак, $f(-1) = -5$. Точка локального минимума — $(-1; -5)$.
• Осталось определить значение функции на втором конце области определения, в точке $x = 3$. Мы знаем, что функция убывает на промежутке $[2; 3]$, поэтому $f(3) < f(2)$. Так как $f(2) = 0$, то $f(3) < 0$. Также значение $f(3)$ должно быть не меньше глобального минимума, то есть $f(3) \ge -5$. Мы можем выбрать любое значение для $f(3)$ из промежутка $[-5; 0)$. Например, пусть $f(3) = -2$. Тогда вторая конечная точка графика — $(3; -2)$.

Таким образом, мы получили следующие ключевые точки, через которые можно провести непрерывную кривую:

• Начальная точка (глобальный максимум): $(-4; 3)$
• Нуль функции: $(-2; 0)$
• Локальный и глобальный минимум: $(-1; -5)$
• Нуль функции и локальный максимум: $(2; 0)$
• Конечная точка: $(3; -2)$

Построение графика

График представляет собой непрерывную кривую, которая:

1. Начинается в точке $(-4; 3)$.
2. Убывает, проходя через точку $(-2; 0)$, до точки минимума $(-1; -5)$.
3. Возрастает от точки $(-1; -5)$ до точки максимума $(2; 0)$.
4. Снова убывает от точки $(2; 0)$ до конечной точки $(3; -2)$.

Ответ:

Ниже представлен один из возможных графиков функции, удовлетворяющей всем перечисленным условиям.