Номер 40.13, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.13. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне $AC$, а две другие — на сторонах $AB$ и $BC$. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если $AC = 12$ см, $BD = 10$ см, где $BD$ — высота треугольника $ABC$.

Пусть в треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$, а вершины $N$ и $M$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим сторону прямоугольника $KL$ через $x$, а сторону $NK$ (высоту прямоугольника) через $y$. Площадь прямоугольника $S$ равна $S = x \cdot y$.

По условию задачи даны: основание треугольника $AC = 12$ см и высота, проведенная к этому основанию, $BD = 10$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NBM$. Так как $KLMN$ — прямоугольник, его сторона $NM$ параллельна стороне $KL$, а значит, и стороне $AC$. Следовательно, треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle NBM \sim \triangle ABC$).

Проведем высоту $BE$ в треугольнике $NBM$ из вершины $B$ на сторону $NM$. Длина этой высоты связана с высотой $BD$ треугольника $ABC$ и высотой $y$ прямоугольника. Точка $E$ лежит на отрезке $BD$. Отрезок $ED$ равен высоте прямоугольника $y$. Таким образом, длина высоты $BE$ равна $BD - ED = 10 - y$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их оснований равно отношению их высот: $$ \frac{NM}{AC} = \frac{BE}{BD} $$ Сторона $NM$ прямоугольника равна $KL$, то есть $NM = x$. Подставим известные значения и переменные в пропорцию: $$ \frac{x}{12} = \frac{10 - y}{10} $$

Выразим $x$ через $y$: $$ x = 12 \cdot \frac{10 - y}{10} = 1.2(10 - y) = 12 - 1.2y $$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади прямоугольника: $$ S(y) = x \cdot y = (12 - 1.2y) \cdot y = 12y - 1.2y^2 $$

Мы получили функцию площади $S(y)$, которая является квадратичной функцией от переменной $y$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $y^2$ отрицателен, $-1.2 < 0$). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y_0$ для функции $f(y) = ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -1.2$ и $b = 12$. $$ y_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1.2)} = -\frac{12}{-2.4} = \frac{120}{24} = 5 $$ Таким образом, максимальная площадь достигается при высоте прямоугольника $y = 5$ см.

Найдем соответствующую ширину прямоугольника $x$: $$ x = 12 - 1.2 \cdot 5 = 12 - 6 = 6 \text{ см} $$

Теперь вычислим наибольшее значение площади прямоугольника: $$ S_{max} = x \cdot y = 6 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2 $$ Ответ: $30 \text{ см}^2$.