Номер 40.15, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.15. В полукруг радиуса 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть радиус полукруга равен $R = 20$ см. Для удобства решения задачи поместим центр полукруга в начало координат $(0, 0)$, а его диаметр — на ось $Ox$. В этом случае уравнение дуги полукруга будет $x^2 + y^2 = R^2$ или $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ для $y \ge 0$.

Прямоугольник вписан в полукруг так, что одна его сторона лежит на диаметре (на оси $Ox$), а две другие вершины лежат на дуге полукруга. Обозначим вершины прямоугольника, лежащие на дуге, как $(x, y)$ и $(-x, y)$. Тогда длина горизонтальной стороны прямоугольника будет равна $2x$, а вертикальной (высоты) — $y$.

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$ и $y$: $S = 2x \cdot y$. Так как вершина $(x, y)$ лежит на дуге, ее координаты связаны уравнением $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{20^2 - x^2} = \sqrt{400 - x^2}$.

Подставим выражение для $y$ в формулу площади, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = 2x \sqrt{400 - x^2}$.

Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти значение $x$, при котором производная функции $S(x)$ равна нулю. Для упрощения вычислений будем искать максимум квадрата площади $S^2(x)$, так как $S(x)$ — положительная величина, и ее максимум будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум $S^2(x)$.

$S^2(x) = (2x \sqrt{400 - x^2})^2 = 4x^2(400 - x^2) = 1600x^2 - 4x^4$.

Найдем производную этой функции по $x$:
$(S^2(x))' = (1600x^2 - 4x^4)' = 1600 \cdot 2x - 4 \cdot 4x^3 = 3200x - 16x^3$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$3200x - 16x^3 = 0$
$16x(200 - x^2) = 0$.

Так как $x$ представляет половину длины стороны, $x > 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $16x$:
$200 - x^2 = 0$
$x^2 = 200$
$x = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Это значение $x$ соответствует максимуму, так как вторая производная $(S^2(x))'' = 3200 - 48x^2$ при $x^2 = 200$ будет отрицательной ($3200 - 48 \cdot 200 = 3200 - 9600 = -6400 < 0$).

Теперь, зная $x$, найдем стороны прямоугольника:

• Длина стороны, лежащей на диаметре, равна $2x = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.
• Длина второй стороны (высоты) равна $y = \sqrt{400 - x^2} = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $20\sqrt{2}$ см и $10\sqrt{2}$ см.