Номер 40.8, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.8. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 12:

$x + y = 12$

Также по условию числа $x$ и $y$ неотрицательные, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число. Обозначим это произведение как $P$. Мы можем выбрать, какое из чисел возводить в квадрат.

Допустим, мы возводим в квадрат число $x$. Тогда произведение, которое нужно максимизировать, имеет вид:

$P = x^2 \cdot (2y)$

Выразим $y$ через $x$ из условия $x + y = 12$:

$y = 12 - x$

Подставим это выражение в формулу для $P$, чтобы получить функцию от одной переменной $x$:

$P(x) = x^2 \cdot 2(12 - x) = 24x^2 - 2x^3$

Поскольку $x \ge 0$ и $y = 12 - x \ge 0$, то переменная $x$ может принимать значения в отрезке $[0, 12]$. Нам нужно найти наибольшее значение функции $P(x)$ на этом отрезке.

Для этого найдем производную функции $P(x)$:

$P'(x) = (24x^2 - 2x^3)' = 48x - 6x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$48x - 6x^2 = 0$

$6x(8 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 12]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить ее значения в критических точках и на концах отрезка:

• При $x = 0$: $P(0) = 24 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^3 = 0$.
• При $x = 8$: $P(8) = 24 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^3 = 24 \cdot 64 - 2 \cdot 512 = 1536 - 1024 = 512$.
• При $x = 12$: $P(12) = 24 \cdot 12^2 - 2 \cdot 12^3 = 2 \cdot 12^2(12 - 12) = 0$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции равно 512 и достигается при $x = 8$.

Если $x = 8$, то второе число $y = 12 - 8 = 4$.

Таким образом, искомые числа — это 8 и 4. Проверим, что это действительно дает наибольшее произведение. Сумма чисел: $8 + 4 = 12$. Возможные произведения:

1. Квадрат первого числа на удвоенное второе: $8^2 \cdot (2 \cdot 4) = 64 \cdot 8 = 512$.

2. Квадрат второго числа на удвоенное первое: $4^2 \cdot (2 \cdot 8) = 16 \cdot 16 = 256$.

Наибольшее из этих двух произведений равно 512. Наш анализ с помощью производной показал, что это и есть максимально возможное значение для любой пары неотрицательных чисел с суммой 12.

Следовательно, число 12 нужно представить в виде суммы чисел 8 и 4.

Ответ: 12 = 8 + 4.