Номер 40.9, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x, \left[0; \frac{\pi}{3}\right];$

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5, \left[0; \frac{\pi}{3}\right];$

3) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x, \left[0; \frac{3\pi}{2}\right].$

1) $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$, на промежутке $[0; \frac{\pi}{3}]$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$, чтобы упростить функцию:$f(x) = 2\sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x$.Сделаем замену $t = \sin 2x$. Так как $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, то $2x \in [0; \frac{2\pi}{3}]$. На этом промежутке $\sin 2x$ принимает значения от 0 до 1, то есть $t \in [0; 1]$.Рассмотрим функцию $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на отрезке $[0; 1]$.Найдем производную $g'(t)$:$g'(t) = -4t + 2$.Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$-4t + 2 = 0 \implies 4t = 2 \implies t = \frac{1}{2}$.Точка $t = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$.

2. Вернемся к переменной $x$. $t = \sin 2x = \frac{1}{2}$.$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.Из всех этих решений выберем те, что принадлежат отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.При $k=0$, $x = \frac{\pi}{12}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.Других корней в этом отрезке нет.

Также необходимо проверить точки, где производная $f'(x)$ равна нулю по другой причине.$f'(x) = (2\sin 2x + \cos 4x)' = 4\cos 2x - 4\sin 4x = 4\cos 2x - 8\sin 2x \cos 2x = 4\cos 2x(1 - 2\sin 2x)$.$f'(x)=0$ если $\cos 2x=0$ или $1 - 2\sin 2x=0$.$\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.При $k=0$, $x=\frac{\pi}{4}$, что принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.Случай $1 - 2\sin 2x=0$ мы уже рассмотрели, он дает $x=\frac{\pi}{12}$.

3. Вычислим значения функции в критических точках $x=\frac{\pi}{12}$, $x=\frac{\pi}{4}$ и на концах отрезка $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$.

• $f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
• $f(\frac{\pi}{12}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) + \cos(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
• $f(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + \cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) + \cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{4\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \sqrt{3} - \frac{1}{2} \approx 1.732 - 0.5 = 1.232$.

Сравнивая полученные значения $1$, $1.5$, $1$ и $\sqrt{3} - \frac{1}{2}$, находим, что наибольшее значение равно $\frac{3}{2}$, а наименьшее равно $1$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = \frac{3}{2}$, наименьшее значение $f_{min} = 1$.

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5$, на промежутке $[0; \frac{\pi}{3}]$

1. Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5)' = \sqrt{3} \cdot \cos 2x \cdot 2 - \sin 2x \cdot 2 = 2\sqrt{3}\cos 2x - 2\sin 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$2\sqrt{3}\cos 2x - 2\sin 2x = 0$.$\sqrt{3}\cos 2x = \sin 2x$.Разделим обе части на $\cos 2x$ (это возможно, так как если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$, что невозможно одновременно):$\tan 2x = \sqrt{3}$.$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.При других значениях $k$ корни не попадают в заданный промежуток.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$.

• $f(0) = \sqrt{3} \sin(0) + \cos(0) - 5 = \sqrt{3} \cdot 0 + 1 - 5 = -4$.
• $f(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - 5 = \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 5 = 2 - 5 = -3$.
• $f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3} \sin(\frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{2\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 5 = 1 - 5 = -4$.

Сравнивая полученные значения $-4$, $-3$ и $-4$, находим, что наибольшее значение равно $-3$, а наименьшее равно $-4$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = -3$, наименьшее значение $f_{min} = -4$.

3) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$, на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$

1. Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + 2\cos 2x$.Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:$f'(x) = 2\cos x + 2(2\cos^2 x - 1) = 4\cos^2 x + 2\cos x - 2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$4\cos^2 x + 2\cos x - 2 = 0$.$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.Сделаем замену $t = \cos x$, где $t \in [-1; 1]$.$2t^2 + t - 1 = 0$.Решим квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.Возвращаемся к переменной $x$:

a) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.В промежуток $[0; \frac{3\pi}{2}]$ попадает корень $x = \frac{\pi}{3}$.

b) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.В промежуток $[0; \frac{3\pi}{2}]$ попадает корень $x = \pi$.

Итак, критические точки на данном отрезке: $x=\frac{\pi}{3}$ и $x=\pi$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=0$, $x=\frac{3\pi}{2}$.

• $f(0) = 2\sin(0) + \sin(0) = 0$.
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
• $f(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$.
• $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2(-1) + \sin(3\pi) = -2 + 0 = -2$.

Сравнивая полученные значения $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $0$ и $-2$, находим, что наибольшее значение равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-2$. ($\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3 \cdot 1.732}{2} \approx 2.598$).

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $f_{min} = -2$.