Номер 40.7, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 8:

$x + y = 8$

Также, по условию, числа являются неотрицательными, следовательно:

$x \ge 0$ и $y \ge 0$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 8 - x$

Поскольку $y \ge 0$, то $8 - x \ge 0$, что означает $x \le 8$. Таким образом, переменная $x$ должна находиться в промежутке $[0, 8]$.

Нам необходимо максимизировать произведение куба одного из чисел на второе. Пусть число, возводимое в куб, — это $x$. Обозначим это произведение как функцию $f(x)$:

$f(x) = x^3 \cdot y$

Подставим выражение для $y$:

$f(x) = x^3 (8 - x) = 8x^3 - x^4$

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 8]$, найдем ее производную:

$f'(x) = (8x^3 - x^4)' = 24x^2 - 4x^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$24x^2 - 4x^3 = 0$

$4x^2(6 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 8]$.

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах отрезка $[0, 8]$:

• При $x = 0$: $f(0) = 0^3 \cdot (8 - 0) = 0$
• При $x = 6$: $f(6) = 6^3 \cdot (8 - 6) = 216 \cdot 2 = 432$
• При $x = 8$: $f(8) = 8^3 \cdot (8 - 8) = 512 \cdot 0 = 0$

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции $f(x)$ равно 432 и достигается при $x=6$.

Теперь найдем второе число $y$:

$y = 8 - x = 8 - 6 = 2$

Таким образом, искомые числа — это 6 и 2. Проверим, что это представление удовлетворяет условию: $6+2=8$. Произведение куба первого числа на второе равно $6^3 \cdot 2 = 432$. Если бы мы возводили в куб второе число, произведение было бы $2^3 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$, что меньше 432. Следовательно, для получения наибольшего произведения нужно возводить в куб большее из чисел.

Число 8 нужно представить в виде суммы чисел 6 и 2.

Ответ: 8 = 6 + 2.