Номер 40.14, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом $30^\circ$ вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB = 16$ см. Пусть один из острых углов, например $\angle A = 30^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В этот треугольник вписан прямоугольник $DEFG$ таким образом, что его вершины $D$ и $E$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $G$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.

Обозначим стороны искомого прямоугольника: пусть его ширина (высота) $GD = FE = y$, а его длина $DE = x$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Рассмотрим два малых прямоугольных треугольника $ADG$ и $FEB$, которые образуются по бокам от вписанного прямоугольника.

В треугольнике $ADG$ нам известен угол $\angle A = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $GD = y$. Мы можем выразить прилежащий катет $AD$ через $y$ с помощью тангенса:
$\tan(\angle A) = \frac{GD}{AD} \implies \tan(30^\circ) = \frac{y}{AD}$
$AD = \frac{y}{\tan(30^\circ)} = \frac{y}{1/\sqrt{3}} = y\sqrt{3}$.

Аналогично, в треугольнике $FEB$ известен угол $\angle B = 60^\circ$ и противолежащий ему катет $FE = y$. Выразим прилежащий катет $EB$ через $y$:
$\tan(\angle B) = \frac{FE}{EB} \implies \tan(60^\circ) = \frac{y}{EB}$
$EB = \frac{y}{\tan(60^\circ)} = \frac{y}{\sqrt{3}}$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $EB$. Поэтому мы можем записать:
$AB = AD + DE + EB$
Подставим известные значения и полученные выражения:
$16 = y\sqrt{3} + x + \frac{y}{\sqrt{3}}$

Теперь выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$ через $y$:
$16 = x + y \left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$16 = x + y \left(\frac{3+1}{\sqrt{3}}\right)$
$16 = x + \frac{4y}{\sqrt{3}}$
$x = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}$

Подставим это выражение для $x$ в формулу площади прямоугольника, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $y$:
$S(y) = x \cdot y = \left(16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}\right) \cdot y = 16y - \frac{4y^2}{\sqrt{3}}$

Полученная функция $S(y)$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ (равный $-\frac{4}{\sqrt{3}}$) отрицателен. Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Координата вершины параболы $y_0$ для функции вида $f(y) = ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае, $a = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ и $b = 16$. Найдем $y$ для максимальной площади:
$y = -\frac{16}{2 \cdot (-\frac{4}{\sqrt{3}})} = -\frac{16}{-\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}$

Итак, оптимальная ширина (высота) прямоугольника равна $y = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем соответствующую длину $x$:
$x = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{4 \cdot (2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 - 8 = 8$

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, его стороны должны быть равны 8 см и $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 8 см и $2\sqrt{3}$ см.