Номер 40.12, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.12. Представьте число 18 в виде суммы трёх неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как $8:3$, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть искомые три неотрицательных числа — это $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, должны выполняться следующие соотношения:
1. Числа являются неотрицательными: $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$.
2. Их сумма равна 18: $a + b + c = 18$.
3. Два из них, например $a$ и $b$, относятся как 8 : 3, то есть $\frac{a}{b} = \frac{8}{3}$.
4. Сумма кубов этих трёх чисел $S = a^3 + b^3 + c^3$ должна быть наименьшей.

Из соотношения $\frac{a}{b} = \frac{8}{3}$ мы можем выразить $a$ и $b$ через общий коэффициент пропорциональности $k$. Так как числа неотрицательные, то $k \ge 0$:
$a = 8k$
$b = 3k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы чисел:
$(8k) + (3k) + c = 18$
$11k + c = 18$
Отсюда выразим третье число $c$:
$c = 18 - 11k$

Теперь применим условие неотрицательности ко всем трём числам, чтобы найти область определения для $k$:
$a = 8k \ge 0 \implies k \ge 0$.
$b = 3k \ge 0 \implies k \ge 0$.
$c = 18 - 11k \ge 0 \implies 18 \ge 11k \implies k \le \frac{18}{11}$.
Таким образом, переменная $k$ определена на отрезке $[0, \frac{18}{11}]$.

Функция, которую требуется минимизировать, это сумма кубов, выраженная через $k$:
$S(k) = a^3 + b^3 + c^3 = (8k)^3 + (3k)^3 + (18 - 11k)^3$
$S(k) = 512k^3 + 27k^3 + (18 - 11k)^3$
$S(k) = 539k^3 + (18 - 11k)^3$

Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $S(k)$ по $k$:
$S'(k) = \frac{d}{dk} (539k^3 + (18 - 11k)^3)$
$S'(k) = 539 \cdot 3k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (18 - 11k)'$
$S'(k) = 1617k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (-11)$
$S'(k) = 1617k^2 - 33(18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 11k + (11k)^2)$
$S'(k) = 1617k^2 - 33(324 - 396k + 121k^2)$
$S'(k) = 1617k^2 - 10692 + 13068k - 3993k^2$
$S'(k) = -2376k^2 + 13068k - 10692$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$-2376k^2 + 13068k - 10692 = 0$
Для упрощения разделим все члены уравнения на $-132$:
$18k^2 - 99k + 81 = 0$
Теперь разделим на 9:
$2k^2 - 11k + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.
Корни уравнения:
$k_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$k_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Сравним найденные корни с областью определения $k \in [0, \frac{18}{11}]$.
Так как $\frac{18}{11} \approx 1.636$, корень $k_1 = 1$ принадлежит этому отрезку, а корень $k_2 = 4.5$ — нет.

Таким образом, внутри отрезка $[0, \frac{18}{11}]$ есть только одна критическая точка $k=1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:
$S''(k) = (-2376k^2 + 13068k - 10692)' = -4752k + 13068$.
При $k=1$, значение второй производной $S''(1) = -4752(1) + 13068 = 8316$.
Так как $S''(1) > 0$, точка $k=1$ является точкой локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка на отрезке, то в ней достигается наименьшее значение функции.

Найдем искомые числа, подставив значение $k=1$ в их выражения:
$a = 8k = 8 \cdot 1 = 8$
$b = 3k = 3 \cdot 1 = 3$
$c = 18 - 11k = 18 - 11 \cdot 1 = 7$
Таким образом, искомые числа — 8, 3 и 7.

Ответ: 8, 3, 7.