Страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

2) $f(x) = 2\sqrt{3} \cos x + 2\sin x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ используется следующий алгоритм:

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2\cos x - \sin 2x)' = -2\sin x - (\cos 2x) \cdot (2x)' = -2\sin x - 2\cos 2x$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$-2\sin x - 2\cos 2x = 0$
$\sin x + \cos 2x = 0$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$. Учитывая, что $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, имеем $t \in [-1, 1]$.
$2t^2 - t - 1 = 0$
Находим корни квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Выполним обратную замену:
$\sin x = -\frac{1}{2}$ или $\sin x = 1$.
В указанном промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

3. Вычисляем значения функции в найденных критических точках и на концах заданного отрезка. Точки для проверки: $x = -\frac{\pi}{2}$ (начало отрезка), $x = -\frac{\pi}{6}$ (критическая точка), $x = \frac{\pi}{2}$ (конец отрезка и критическая точка).
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 2 \cdot 0 - \sin(-\pi) = 0$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 - \sin(\pi) = 0$.

4. Сравниваем полученные значения: $0$ и $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Наибольшее значение равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение $f_{\text{наиб.}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $f_{\text{наим.}} = 0$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ выполним следующие шаги:

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x)' = -2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$-2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x = 0$
$2\cos x = 2\sqrt{3}\sin x$
$\cos x = \sqrt{3}\sin x$
Если $\cos x = 0$, то $x = \pm \frac{\pi}{2}$, и $\sin x = \pm 1$. Равенство $0 = \sqrt{3}(\pm 1)$ неверно, значит $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:
$1 = \sqrt{3}\tan x$
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ этому уравнению соответствует единственная точка $x = \frac{\pi}{6}$.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке $x = \frac{\pi}{6}$.
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{2}) + 2\sin(-\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2$.
$f(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$.

4. Сравниваем полученные значения: $-2$, $4$ и $2$. Наибольшее значение равно $4$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $f_{\text{наиб.}} = 4$, наименьшее значение $f_{\text{наим.}} = -2$.

40.11. Представьте число 180 в виде суммы трёх неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.

40.11.

Пусть искомые три неотрицательных слагаемых будут $a$, $b$ и $c$. Согласно условиям задачи, мы имеем систему уравнений и ограничений:

$a + b + c = 180$

$a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$

Два из слагаемых относятся как 1:2. Без ограничения общности, пусть это будут слагаемые $a$ и $b$, так что $b = 2a$. Наша цель — максимизировать произведение $P = a \cdot b \cdot c$.

Выразим $c$ через $a$, подставив $b = 2a$ в уравнение суммы:

$a + 2a + c = 180 \implies 3a + c = 180 \implies c = 180 - 3a$

Теперь произведение $P$ можно представить как функцию одной переменной $a$:

$P(a) = a \cdot (2a) \cdot (180 - 3a) = 2a^2(180 - 3a) = 360a^2 - 6a^3$

Определим область допустимых значений для $a$. Так как все слагаемые неотрицательны, то:

$a \ge 0$

$c = 180 - 3a \ge 0 \implies 180 \ge 3a \implies a \le 60$

Следовательно, мы должны найти максимальное значение функции $P(a)$ на отрезке $[0, 60]$. Для этого найдем производную функции $P(a)$:

$P'(a) = (360a^2 - 6a^3)' = 720a - 18a^2$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$720a - 18a^2 = 0$

$18a(40 - a) = 0$

Критические точки: $a = 0$ и $a = 40$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 60]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, вычислим её значения в критических точках и на концах отрезка:

$P(0) = 360 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0^3 = 0$

$P(40) = 360 \cdot 40^2 - 6 \cdot 40^3 = 360 \cdot 1600 - 6 \cdot 64000 = 576000 - 384000 = 192000$

$P(60) = 360 \cdot 60^2 - 6 \cdot 60^3 = 0$

Наибольшее значение произведения достигается при $a = 40$. Теперь найдем остальные слагаемые:

$a = 40$

$b = 2a = 2 \cdot 40 = 80$

$c = 180 - 3a = 180 - 3 \cdot 40 = 180 - 120 = 60$

Проверка: $40 + 80 + 60 = 180$. Отношение $40:80$ равно $1:2$. Все условия выполнены.

Ответ: искомые слагаемые — 40, 80 и 60.

40.12. Представьте число 18 в виде суммы трёх неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как $8:3$, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть искомые три неотрицательных числа — это $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, должны выполняться следующие соотношения:
1. Числа являются неотрицательными: $a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$.
2. Их сумма равна 18: $a + b + c = 18$.
3. Два из них, например $a$ и $b$, относятся как 8 : 3, то есть $\frac{a}{b} = \frac{8}{3}$.
4. Сумма кубов этих трёх чисел $S = a^3 + b^3 + c^3$ должна быть наименьшей.

Из соотношения $\frac{a}{b} = \frac{8}{3}$ мы можем выразить $a$ и $b$ через общий коэффициент пропорциональности $k$. Так как числа неотрицательные, то $k \ge 0$:
$a = 8k$
$b = 3k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы чисел:
$(8k) + (3k) + c = 18$
$11k + c = 18$
Отсюда выразим третье число $c$:
$c = 18 - 11k$

Теперь применим условие неотрицательности ко всем трём числам, чтобы найти область определения для $k$:
$a = 8k \ge 0 \implies k \ge 0$.
$b = 3k \ge 0 \implies k \ge 0$.
$c = 18 - 11k \ge 0 \implies 18 \ge 11k \implies k \le \frac{18}{11}$.
Таким образом, переменная $k$ определена на отрезке $[0, \frac{18}{11}]$.

Функция, которую требуется минимизировать, это сумма кубов, выраженная через $k$:
$S(k) = a^3 + b^3 + c^3 = (8k)^3 + (3k)^3 + (18 - 11k)^3$
$S(k) = 512k^3 + 27k^3 + (18 - 11k)^3$
$S(k) = 539k^3 + (18 - 11k)^3$

Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $S(k)$ по $k$:
$S'(k) = \frac{d}{dk} (539k^3 + (18 - 11k)^3)$
$S'(k) = 539 \cdot 3k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (18 - 11k)'$
$S'(k) = 1617k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (-11)$
$S'(k) = 1617k^2 - 33(18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 11k + (11k)^2)$
$S'(k) = 1617k^2 - 33(324 - 396k + 121k^2)$
$S'(k) = 1617k^2 - 10692 + 13068k - 3993k^2$
$S'(k) = -2376k^2 + 13068k - 10692$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$-2376k^2 + 13068k - 10692 = 0$
Для упрощения разделим все члены уравнения на $-132$:
$18k^2 - 99k + 81 = 0$
Теперь разделим на 9:
$2k^2 - 11k + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.
Корни уравнения:
$k_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$k_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Сравним найденные корни с областью определения $k \in [0, \frac{18}{11}]$.
Так как $\frac{18}{11} \approx 1.636$, корень $k_1 = 1$ принадлежит этому отрезку, а корень $k_2 = 4.5$ — нет.

Таким образом, внутри отрезка $[0, \frac{18}{11}]$ есть только одна критическая точка $k=1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:
$S''(k) = (-2376k^2 + 13068k - 10692)' = -4752k + 13068$.
При $k=1$, значение второй производной $S''(1) = -4752(1) + 13068 = 8316$.
Так как $S''(1) > 0$, точка $k=1$ является точкой локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка на отрезке, то в ней достигается наименьшее значение функции.

Найдем искомые числа, подставив значение $k=1$ в их выражения:
$a = 8k = 8 \cdot 1 = 8$
$b = 3k = 3 \cdot 1 = 3$
$c = 18 - 11k = 18 - 11 \cdot 1 = 7$
Таким образом, искомые числа — 8, 3 и 7.

Ответ: 8, 3, 7.

40.13. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне $AC$, а две другие — на сторонах $AB$ и $BC$. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если $AC = 12$ см, $BD = 10$ см, где $BD$ — высота треугольника $ABC$.

Пусть в треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$, а вершины $N$ и $M$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим сторону прямоугольника $KL$ через $x$, а сторону $NK$ (высоту прямоугольника) через $y$. Площадь прямоугольника $S$ равна $S = x \cdot y$.

По условию задачи даны: основание треугольника $AC = 12$ см и высота, проведенная к этому основанию, $BD = 10$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NBM$. Так как $KLMN$ — прямоугольник, его сторона $NM$ параллельна стороне $KL$, а значит, и стороне $AC$. Следовательно, треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle NBM \sim \triangle ABC$).

Проведем высоту $BE$ в треугольнике $NBM$ из вершины $B$ на сторону $NM$. Длина этой высоты связана с высотой $BD$ треугольника $ABC$ и высотой $y$ прямоугольника. Точка $E$ лежит на отрезке $BD$. Отрезок $ED$ равен высоте прямоугольника $y$. Таким образом, длина высоты $BE$ равна $BD - ED = 10 - y$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их оснований равно отношению их высот: $$ \frac{NM}{AC} = \frac{BE}{BD} $$ Сторона $NM$ прямоугольника равна $KL$, то есть $NM = x$. Подставим известные значения и переменные в пропорцию: $$ \frac{x}{12} = \frac{10 - y}{10} $$

Выразим $x$ через $y$: $$ x = 12 \cdot \frac{10 - y}{10} = 1.2(10 - y) = 12 - 1.2y $$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади прямоугольника: $$ S(y) = x \cdot y = (12 - 1.2y) \cdot y = 12y - 1.2y^2 $$

Мы получили функцию площади $S(y)$, которая является квадратичной функцией от переменной $y$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $y^2$ отрицателен, $-1.2 < 0$). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y_0$ для функции $f(y) = ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -1.2$ и $b = 12$. $$ y_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1.2)} = -\frac{12}{-2.4} = \frac{120}{24} = 5 $$ Таким образом, максимальная площадь достигается при высоте прямоугольника $y = 5$ см.

Найдем соответствующую ширину прямоугольника $x$: $$ x = 12 - 1.2 \cdot 5 = 12 - 6 = 6 \text{ см} $$

Теперь вычислим наибольшее значение площади прямоугольника: $$ S_{max} = x \cdot y = 6 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2 $$ Ответ: $30 \text{ см}^2$.

40.14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом $30^\circ$ вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB = 16$ см. Пусть один из острых углов, например $\angle A = 30^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В этот треугольник вписан прямоугольник $DEFG$ таким образом, что его вершины $D$ и $E$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $G$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.

Обозначим стороны искомого прямоугольника: пусть его ширина (высота) $GD = FE = y$, а его длина $DE = x$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Рассмотрим два малых прямоугольных треугольника $ADG$ и $FEB$, которые образуются по бокам от вписанного прямоугольника.

В треугольнике $ADG$ нам известен угол $\angle A = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $GD = y$. Мы можем выразить прилежащий катет $AD$ через $y$ с помощью тангенса:
$\tan(\angle A) = \frac{GD}{AD} \implies \tan(30^\circ) = \frac{y}{AD}$
$AD = \frac{y}{\tan(30^\circ)} = \frac{y}{1/\sqrt{3}} = y\sqrt{3}$.

Аналогично, в треугольнике $FEB$ известен угол $\angle B = 60^\circ$ и противолежащий ему катет $FE = y$. Выразим прилежащий катет $EB$ через $y$:
$\tan(\angle B) = \frac{FE}{EB} \implies \tan(60^\circ) = \frac{y}{EB}$
$EB = \frac{y}{\tan(60^\circ)} = \frac{y}{\sqrt{3}}$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $EB$. Поэтому мы можем записать:
$AB = AD + DE + EB$
Подставим известные значения и полученные выражения:
$16 = y\sqrt{3} + x + \frac{y}{\sqrt{3}}$

Теперь выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$ через $y$:
$16 = x + y \left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$16 = x + y \left(\frac{3+1}{\sqrt{3}}\right)$
$16 = x + \frac{4y}{\sqrt{3}}$
$x = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}$

Подставим это выражение для $x$ в формулу площади прямоугольника, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $y$:
$S(y) = x \cdot y = \left(16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}\right) \cdot y = 16y - \frac{4y^2}{\sqrt{3}}$

Полученная функция $S(y)$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ (равный $-\frac{4}{\sqrt{3}}$) отрицателен. Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Координата вершины параболы $y_0$ для функции вида $f(y) = ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае, $a = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ и $b = 16$. Найдем $y$ для максимальной площади:
$y = -\frac{16}{2 \cdot (-\frac{4}{\sqrt{3}})} = -\frac{16}{-\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}$

Итак, оптимальная ширина (высота) прямоугольника равна $y = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем соответствующую длину $x$:
$x = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{4 \cdot (2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 - 8 = 8$

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, его стороны должны быть равны 8 см и $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 8 см и $2\sqrt{3}$ см.

40.15. В полукруг радиуса 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть радиус полукруга равен $R = 20$ см. Для удобства решения задачи поместим центр полукруга в начало координат $(0, 0)$, а его диаметр — на ось $Ox$. В этом случае уравнение дуги полукруга будет $x^2 + y^2 = R^2$ или $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ для $y \ge 0$.

Прямоугольник вписан в полукруг так, что одна его сторона лежит на диаметре (на оси $Ox$), а две другие вершины лежат на дуге полукруга. Обозначим вершины прямоугольника, лежащие на дуге, как $(x, y)$ и $(-x, y)$. Тогда длина горизонтальной стороны прямоугольника будет равна $2x$, а вертикальной (высоты) — $y$.

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$ и $y$: $S = 2x \cdot y$. Так как вершина $(x, y)$ лежит на дуге, ее координаты связаны уравнением $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{20^2 - x^2} = \sqrt{400 - x^2}$.

Подставим выражение для $y$ в формулу площади, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = 2x \sqrt{400 - x^2}$.

Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти значение $x$, при котором производная функции $S(x)$ равна нулю. Для упрощения вычислений будем искать максимум квадрата площади $S^2(x)$, так как $S(x)$ — положительная величина, и ее максимум будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум $S^2(x)$.

$S^2(x) = (2x \sqrt{400 - x^2})^2 = 4x^2(400 - x^2) = 1600x^2 - 4x^4$.

Найдем производную этой функции по $x$:
$(S^2(x))' = (1600x^2 - 4x^4)' = 1600 \cdot 2x - 4 \cdot 4x^3 = 3200x - 16x^3$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$3200x - 16x^3 = 0$
$16x(200 - x^2) = 0$.

Так как $x$ представляет половину длины стороны, $x > 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $16x$:
$200 - x^2 = 0$
$x^2 = 200$
$x = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Это значение $x$ соответствует максимуму, так как вторая производная $(S^2(x))'' = 3200 - 48x^2$ при $x^2 = 200$ будет отрицательной ($3200 - 48 \cdot 200 = 3200 - 9600 = -6400 < 0$).

Теперь, зная $x$, найдем стороны прямоугольника:

• Длина стороны, лежащей на диаметре, равна $2x = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.
• Длина второй стороны (высоты) равна $y = \sqrt{400 - x^2} = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $20\sqrt{2}$ см и $10\sqrt{2}$ см.

40.16. В полукруг радиуса 6 см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть полукруг расположен в верхней полуплоскости системы координат, а его диаметр — на оси Ox, с центром в начале координат (0, 0). Тогда уравнение полуокружности имеет вид $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, где радиус $R = 6$ см. Таким образом, уравнение дуги полукруга: $y = \sqrt{36 - x^2}$.

Прямоугольник вписан в полукруг так, что одна его сторона (основание) лежит на диаметре, а две другие вершины — на дуге полуокружности. Обозначим вершины прямоугольника как $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$.

При такой конфигурации стороны прямоугольника будут равны $2x$ (длина основания) и $y$ (высота). Связь между $x$ и $y$ определяется тем, что вершина $(x, y)$ лежит на полуокружности, то есть $y = \sqrt{36 - x^2}$. Область определения для $x$ - это интервал $(0, 6)$.

Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой:$P = 2(\text{длина} + \text{высота}) = 2(2x + y)$Чтобы найти прямоугольник с наибольшим периметром, нужно найти максимум функции периметра. Подставим выражение для $y$ через $x$, чтобы получить функцию одной переменной $P(x)$:$P(x) = 2(2x + \sqrt{36 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{36 - x^2}$

Для нахождения максимума функции $P(x)$ на интервале $(0, 6)$, найдем ее производную по $x$:$P'(x) = (4x + 2\sqrt{36 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (36 - x^2)' = 4 + \frac{-2x}{\sqrt{36 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:$P'(x) = 0$$4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}} = 0$$4 = \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$$2 = \frac{x}{\sqrt{36 - x^2}}$$2\sqrt{36 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая что $x>0$:$4(36 - x^2) = x^2$$144 - 4x^2 = x^2$$5x^2 = 144$$x^2 = \frac{144}{5}$Поскольку $x > 0$, извлекаем корень:$x = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Полученное значение $x$ принадлежит интервалу $(0, 6)$. Проверим, что это точка максимума. Можно исследовать знак производной $P'(x)$ слева и справа от найденной точки.При $x < \frac{12\sqrt{5}}{5}$, производная $P'(x) > 0$ (функция возрастает).При $x > \frac{12\sqrt{5}}{5}$, производная $P'(x) < 0$ (функция убывает).Следовательно, в точке $x = \frac{12\sqrt{5}}{5}$ функция $P(x)$ достигает своего максимума.

Теперь найдем размеры сторон прямоугольника при этом значении $x$.Длина прямоугольника равна $2x$:$2x = 2 \cdot \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{24\sqrt{5}}{5}$ см.

Высота прямоугольника равна $y$:$y = \sqrt{36 - x^2} = \sqrt{36 - \frac{144}{5}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 5 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{180 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{24\sqrt{5}}{5}$ см и $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.

40.17. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 12 - x^2$, $D(y) = [-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}]$, а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Условие задачи описывает прямоугольник, две вершины которого лежат на оси абсцисс (ось $Ox$), а две другие — на графике функции $y = 12 - x^2$. График этой функции — парабола, симметричная относительно оси ординат (оси $Oy$), с ветвями, направленными вниз.

Для того чтобы площадь прямоугольника была максимальной, его стороны должны быть параллельны осям координат. В силу симметрии параболы относительно оси $Oy$, прямоугольник также будет симметричен относительно этой оси.

Пусть одна из вершин прямоугольника, лежащая на параболе в первой координатной четверти, имеет координаты $(x, y)$, где $x > 0$. Тогда, в силу симметрии, остальные вершины будут иметь координаты: $(-x, y)$, $(-x, 0)$ и $(x, 0)$.

Длина основания прямоугольника, лежащего на оси абсцисс, будет равна $x - (-x) = 2x$. Высота прямоугольника будет равна ординате $y$. Поскольку вершина $(x, y)$ лежит на параболе, ее координата $y$ равна $12 - x^2$.

Таким образом, высота прямоугольника равна $12 - x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ можно выразить как функцию от $x$: $S(x) = (\text{длина}) \cdot (\text{высота}) = 2x \cdot (12 - x^2) = 24x - 2x^3$.

Согласно условию, область определения функции $D(y) = [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$. Это означает, что абсцисса $x$ может принимать значения из этого отрезка. Поскольку мы выбрали $x$ как положительную величину (половина основания), то $x$ должен находиться в интервале $(0, 2\sqrt{3}]$. При $x=2\sqrt{3}$ высота $y=12-(2\sqrt{3})^2=12-12=0$, и площадь равна нулю. При $x \to 0$ площадь также стремится к нулю.

Для нахождения наибольшего значения площади найдем максимум функции $S(x)$ на интервале $(0, 2\sqrt{3})$. Для этого вычислим производную функции $S(x)$: $S'(x) = (24x - 2x^3)' = 24 - 6x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $24 - 6x^2 = 0$ $6x^2 = 24$ $x^2 = 4$

Поскольку $x > 0$, нас интересует корень $x = 2$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу $(0, 2\sqrt{3})$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную: $S''(x) = (24 - 6x^2)' = -12x$.

В точке $x=2$ вторая производная $S''(2) = -12 \cdot 2 = -24$. Так как $S''(2) < 0$, точка $x=2$ является точкой максимума.

Теперь вычислим значение наибольшей площади, подставив $x = 2$ в выражение для площади $S(x)$: $S_{max} = S(2) = 2 \cdot 2 \cdot (12 - 2^2) = 4 \cdot (12 - 4) = 4 \cdot 8 = 32$.

Ответ: 32

40.18. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 0,5x^2$, $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$, а две другие – прямой $y = 9$. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть вершины прямоугольника расположены в точках с координатами $(-x, 9)$, $(x, 9)$, $(x, 0.5x^2)$ и $(-x, 0.5x^2)$. Такое расположение следует из того, что две вершины лежат на прямой $y=9$, две другие — на параболе $y=0.5x^2$, а стороны прямоугольника должны быть параллельны осям координат. Симметрия параболы $y=0.5x^2$ относительно оси $Oy$ обеспечивает симметрию всего прямоугольника.

Обозначим через $x$ положительную абсциссу вершин, лежащих в правой полуплоскости. Тогда ширина прямоугольника будет равна $w = x - (-x) = 2x$.

Высота прямоугольника будет равна разности ординат верхней и нижней сторон: $h = 9 - 0.5x^2$.

Для того чтобы фигура была прямоугольником, ее высота и ширина должны быть положительными. Отсюда $x > 0$ и $9 - 0.5x^2 > 0$. Решим второе неравенство:

$0.5x^2 < 9 \implies x^2 < 18 \implies x < \sqrt{18} \implies x < 3\sqrt{2}$.

Таким образом, $x$ должен находиться в интервале $(0, 3\sqrt{2})$. Это согласуется с областью определения, указанной в задаче, $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$ (предполагая, что это область определения по $x$).

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$:

$S(x) = w \cdot h = (2x)(9 - 0.5x^2) = 18x - x^3$.

Для нахождения наибольшего значения площади найдем производную функции $S(x)$ и определим ее критические точки:

$S'(x) = \frac{d}{dx}(18x - x^3) = 18 - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю:

$18 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 18 \implies x^2 = 6$.

Так как мы ищем $x > 0$, получаем $x = \sqrt{6}$. Эта точка принадлежит нашему интервалу $(0, 3\sqrt{2})$, поскольку $6 < 18$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, используем вторую производную:

$S''(x) = \frac{d}{dx}(18 - 3x^2) = -6x$.

В точке $x=\sqrt{6}$ вторая производная $S''(\sqrt{6}) = -6\sqrt{6}$ отрицательна, следовательно, в этой точке функция $S(x)$ достигает локального максимума. Поскольку это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале, этот максимум является наибольшим значением.

Вычислим значение максимальной площади, подставив $x = \sqrt{6}$ в формулу для площади:

$S_{max} = S(\sqrt{6}) = 18\sqrt{6} - (\sqrt{6})^3 = 18\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $12\sqrt{6}$.

40.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны $b$, а длина основания равна $a$.

Периметр $P$ такого треугольника равен $P = a + 2b$. По условию задачи $P = 48$ см. Следовательно, $a + 2b = 48$. Отсюда мы можем выразить длину боковой стороны $b$ через длину основания $a$: $2b = 48 - a$ $b = \frac{48 - a}{2} = 24 - \frac{a}{2}$

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $h$ — высота, проведенная к основанию. Высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $b$ (гипотенуза) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (катет). По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$ $h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2$ Подставим выражение для $b$, которое мы нашли ранее: $h^2 = (24 - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2$ Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $h^2 = \left( \left(24 - \frac{a}{2}\right) - \frac{a}{2} \right) \cdot \left( \left(24 - \frac{a}{2}\right) + \frac{a}{2} \right)$ $h^2 = (24 - a) \cdot 24 = 576 - 24a$ Отсюда $h = \sqrt{576 - 24a}$.

Теперь подставим выражение для высоты $h$ в формулу площади: $S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}$

Нам нужно найти значение $a$, при котором площадь $S(a)$ будет максимальной. Заметим, что стороны треугольника должны быть положительными: $a > 0$ и $b > 0$. Из $b = 24 - \frac{a}{2} > 0$ следует, что $a < 48$. Также должно выполняться неравенство треугольника: $b+b > a$, т.е. $2b > a$. Подставив $2b = 48-a$, получаем $48-a > a$, что дает $2a < 48$ или $a < 24$. Таким образом, мы ищем максимум на интервале $a \in (0, 24)$.

Чтобы упростить нахождение максимума, будем максимизировать не саму функцию $S(a)$, а ее квадрат $S^2(a)$, так как функция $S(a)$ на рассматриваемом интервале положительна, и ее максимум будет достигаться при том же значении $a$, что и максимум ее квадрата. Пусть $f(a) = S^2(a) = \left(\frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}\right)^2 = \frac{1}{4} a^2 (576 - 24a) = 144a^2 - 6a^3$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю: $f'(a) = (144a^2 - 6a^3)' = 2 \cdot 144a - 3 \cdot 6a^2 = 288a - 18a^2$. $f'(a) = 0 \implies 288a - 18a^2 = 0$ $18a(16 - a) = 0$ Это уравнение имеет два корня: $a = 0$ и $a = 16$.

Значение $a = 0$ не входит в область определения $a \in (0, 24)$ и соответствует вырожденному треугольнику. Значение $a = 16$ принадлежит нашему интервалу. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную: $f''(a) = (288a - 18a^2)' = 288 - 36a$. $f''(16) = 288 - 36 \cdot 16 = 288 - 576 = -288$. Так как $f''(16) < 0$, точка $a = 16$ является точкой максимума для функции $f(a)$, а значит и для функции $S(a)$.

Таким образом, площадь треугольника будет наибольшей, когда длина основания равна 16 см. При этом боковая сторона будет равна $b = 24 - \frac{16}{2} = 24 - 8 = 16$ см. То есть, треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является равносторонним.

Ответ: Длина основания должна быть 16 см.

40.20. Начертите график какой-нибудь непрерывной функции такой, что: областью определения является промежуток $ [-4; 3] $; областью значений является промежуток $ [-5; 3] $; нули функции равны $ -2 $ и $ 2 $; функция убывает на каждом из промежутков $ [-4; -1] $ и $ [2; 3] $, возрастает на промежутке $ [-1; 2] $.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, проанализируем каждое из них, определим ключевые точки и характер поведения функции на различных промежутках.

Анализ условий задачи

• Область определения $D(f) = [-4; 3]$: График функции существует только для значений $x$ от $-4$ до $3$ включительно. Это означает, что у графика будут две конечные точки: при $x = -4$ и $x = 3$.
• Область значений $E(f) = [-5; 3]$: Наименьшее значение функции (глобальный минимум) равно $-5$, а наибольшее (глобальный максимум) равно $3$. Весь график должен находиться между горизонтальными линиями $y = -5$ и $y = 3$.
• Нули функции $f(x)=0$ при $x = -2$ и $x = 2$: График пересекает ось абсцисс в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутках $[-4; -1]$ и $[2; 3]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[-1; 2]$.

Определение координат ключевых точек

Из анализа промежутков монотонности следует, что:

• В точке $x = -1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.

Теперь объединим все условия для нахождения координат ключевых точек:

• В точке $x = 2$ находится локальный максимум, и при этом $f(2) = 0$. Значит, точка локального максимума — это $(2; 0)$.
• Глобальный максимум функции равен $3$. Поскольку локальный максимум в точке $(2,0)$ равен $0$, глобальный максимум должен достигаться на одном из концов области определения. Функция убывает на $[-4; -1]$, значит $f(-4) > f(-1)$. Функция убывает на $[2; 3]$, значит $f(2) > f(3)$. Следовательно, кандидатом на глобальный максимум является значение функции в точке $x = -4$. Примем $f(-4) = 3$. Таким образом, одна из конечных точек графика — $(-4; 3)$.
• Глобальный минимум функции равен $-5$. В точке $x = -1$ находится локальный минимум. Логично предположить, что именно в этой точке достигается глобальный минимум. Итак, $f(-1) = -5$. Точка локального минимума — $(-1; -5)$.
• Осталось определить значение функции на втором конце области определения, в точке $x = 3$. Мы знаем, что функция убывает на промежутке $[2; 3]$, поэтому $f(3) < f(2)$. Так как $f(2) = 0$, то $f(3) < 0$. Также значение $f(3)$ должно быть не меньше глобального минимума, то есть $f(3) \ge -5$. Мы можем выбрать любое значение для $f(3)$ из промежутка $[-5; 0)$. Например, пусть $f(3) = -2$. Тогда вторая конечная точка графика — $(3; -2)$.

Таким образом, мы получили следующие ключевые точки, через которые можно провести непрерывную кривую:

• Начальная точка (глобальный максимум): $(-4; 3)$
• Нуль функции: $(-2; 0)$
• Локальный и глобальный минимум: $(-1; -5)$
• Нуль функции и локальный максимум: $(2; 0)$
• Конечная точка: $(3; -2)$

Построение графика

График представляет собой непрерывную кривую, которая:

1. Начинается в точке $(-4; 3)$.
2. Убывает, проходя через точку $(-2; 0)$, до точки минимума $(-1; -5)$.
3. Возрастает от точки $(-1; -5)$ до точки максимума $(2; 0)$.
4. Снова убывает от точки $(2; 0)$ до конечной точки $(3; -2)$.

Ответ:

Ниже представлен один из возможных графиков функции, удовлетворяющей всем перечисленным условиям.