Страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.2. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2;$

2) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3;$

3) $f(x) = x - x^3;$

4) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2;$

5) $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4.$

1) Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2$ и построим её график.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 = -x^3 + 3x^2$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3 + 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x+3) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x=-3$. Точки $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных и наклонных асимптот нет, так как функция является многочленом.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x+2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-2$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$. Точка максимума $(-2, 4)$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$. Точка минимума $(0, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$.
Найдем точки, где вторая производная равна нулю: $6x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x \in (-1; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x=-1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y = f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2$. Точка перегиба $(-1, 2)$.

7. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 3x^2) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 3x^2) = -\infty$.

8. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Ключевые точки: $(-3, 0)$ и $(0, 0)$ - пересечение с OX; $(0, 0)$ - пересечение с OY; $(-2, 4)$ - точка максимума; $(0, 0)$ - точка минимума; $(-1, 2)$ - точка перегиба. График идет из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-2, 4)$, затем убывает до точки минимума $(0, 0)$, проходя через точку перегиба $(-1, 2)$, и после точки минимума возрастает до $+\infty$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(-3, 0)$ и $(0, 0)$, максимум $(-2, 4)$, минимум $(0, 0)$, точка перегиба $(-1, 2)$.

2) Исследуем функцию $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = 4(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3 = -4x + \frac{1}{3}x^3 = -(4x - \frac{1}{3}x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow 4x - \frac{1}{3}x^3 = 0 \Rightarrow x(4 - \frac{1}{3}x^2) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$. Точки $(0, 0)$, $(-2\sqrt{3}, 0)$, $(2\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 4 - x^2 = (2-x)(2+x)$.
Критические точки: $x_1=2, x_2=-2$.
- $x \in (-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (-2; 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.
$x=-2$ - точка минимума. $y_{min} = f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{3}(-8) = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$. Точка $(-2, -16/3)$.
$x=2$ - точка максимума. $y_{max} = f(2) = 4(2) - \frac{1}{3}(8) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$. Точка $(2, 16/3)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = -2x$.
$f''(x) = 0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty; 0)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (0; +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
$x=0$ - точка перегиба. $y = f(0) = 0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} (4x - \frac{1}{3}x^3) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (4x - \frac{1}{3}x^3) = +\infty$.

8. Построение графика:
Ключевые точки: пересечения с осями $(\pm 2\sqrt{3}, 0), (0, 0)$; минимум $(-2, -16/3)$; максимум $(2, 16/3)$; точка перегиба $(0, 0)$. График идет из $+\infty$, убывает до минимума, затем возрастает через точку перегиба $(0,0)$ до максимума, и далее убывает в $-\infty$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 2\sqrt{3}, 0)$, минимум $(-2, -16/3)$, максимум $(2, 16/3)$, точка перегиба $(0, 0)$.

3) Исследуем функцию $f(x) = x - x^3$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow x - x^3 = 0 \Rightarrow x(1 - x^2) = 0$. Отсюда $x=0, x=1, x=-1$. Точки $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 1 - 3x^2$.
Критические точки: $1 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3})$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (1/\sqrt{3}; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.
$x = -1/\sqrt{3}$ - точка минимума. $y_{min} = f(-1/\sqrt{3}) = -1/\sqrt{3} - (-1/\sqrt{3})^3 = -1/\sqrt{3} + 1/(3\sqrt{3}) = -2/(3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}/9$. Точка $(-1/\sqrt{3}, -2\sqrt{3}/9)$.
$x = 1/\sqrt{3}$ - точка максимума. $y_{max} = f(1/\sqrt{3}) = 1/\sqrt{3} - (1/\sqrt{3})^3 = 2\sqrt{3}/9$. Точка $(1/\sqrt{3}, 2\sqrt{3}/9)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = -6x$.
$f''(x) = 0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty; 0)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (0; +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
$x=0$ - точка перегиба. $y=f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} (x - x^3) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x - x^3) = +\infty$.

8. Построение графика:
Ключевые точки: пересечения с осями $(-1, 0), (0, 0), (1, 0)$; минимум $(-1/\sqrt{3}, -2\sqrt{3}/9)$; максимум $(1/\sqrt{3}, 2\sqrt{3}/9)$; точка перегиба $(0, 0)$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 1, 0)$, минимум $(-1/\sqrt{3}, -2\sqrt{3}/9)$, максимум $(1/\sqrt{3}, 2\sqrt{3}/9)$, точка перегиба $(0, 0)$.

4) Исследуем функцию $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{(-x)^4}{2} - 4(-x)^2 = \frac{x^4}{2} - 4x^2 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow \frac{x^4}{2} - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{x^2}{2} - 4) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x^2=8 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}$. Точки $(0, 0)$, $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x-2)(x+2)$.
Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.
- $x \in (-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (-2; 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (0; 2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
$x=-2$ - точка минимума. $y_{min} = f(-2) = \frac{16}{2} - 4(4) = 8 - 16 = -8$. Точка $(-2, -8)$.
$x=0$ - точка максимума. $y_{max} = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
$x=2$ - точка минимума. $y_{min} = f(2) = -8$. Точка $(2, -8)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 6x^2 - 8 = 2(3x^2-4)$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x^2=4/3 \Rightarrow x=\pm 2/\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty; -2/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, выпуклый вниз.
- $x \in (-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, выпуклый вверх.
- $x \in (2/\sqrt{3}; +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклый вниз.
$x = \pm 2/\sqrt{3}$ - точки перегиба. $y=f(\pm 2/\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(\frac{16}{9}) - 4(\frac{4}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{16}{3} = -\frac{40}{9}$. Точки $(\pm 2/\sqrt{3}, -40/9)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^4}{2} - 4x^2) = +\infty$.

8. Построение графика:
График имеет форму буквы 'W'. Ключевые точки: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 2\sqrt{2}, 0)$; минимумы $(-2, -8)$ и $(2, -8)$; максимум $(0, 0)$; точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, -40/9)$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(0, 0), (\pm 2\sqrt{2}, 0)$, минимумы $(-2, -8), (2, -8)$, максимум $(0, 0)$, точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, -40/9)$.

5) Исследуем функцию $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$ и построим её график.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность: $f(-x) = 8(-x)^2 - 7 - (-x)^4 = 8x^2 - 7 - x^4 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями:
С OY: $x=0 \Rightarrow y = -7$. Точка $(0, -7)$.
С OX: $y=0 \Rightarrow -x^4 + 8x^2 - 7 = 0 \Rightarrow x^4 - 8x^2 + 7 = 0$. Пусть $t=x^2, t \ge 0$. $t^2 - 8t + 7 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-7)=0$. $t_1=1, t_2=7$.
$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$.
$x^2=7 \Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$.
Точки $(\pm 1, 0)$ и $(\pm \sqrt{7}, 0)$.

4. Асимптоты: Нет.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 16x - 4x^3 = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$.
Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.
- $x \in (-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (-2; 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- $x \in (0; 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.
$x=-2$ - точка максимума. $y_{max} = f(-2) = 8(4)-7-16 = 32-7-16=9$. Точка $(-2, 9)$.
$x=0$ - точка минимума. $y_{min} = f(0) = -7$. Точка $(0, -7)$.
$x=2$ - точка максимума. $y_{max} = f(2) = 9$. Точка $(2, 9)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 16 - 12x^2 = 4(4-3x^2)$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x^2=4/3 \Rightarrow x=\pm 2/\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty; -2/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, выпуклый вверх.
- $x \in (-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, выпуклый вниз.
- $x \in (2/\sqrt{3}; +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклый вверх.
$x = \pm 2/\sqrt{3}$ - точки перегиба. $y=f(\pm 2/\sqrt{3}) = 8(\frac{4}{3}) - 7 - (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{3}-7-\frac{16}{9} = \frac{96-63-16}{9} = \frac{17}{9}$. Точки $(\pm 2/\sqrt{3}, 17/9)$.

7. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to \pm\infty} (8x^2 - 7 - x^4) = -\infty$.

8. Построение графика:
График имеет форму перевернутой буквы 'W' (или буквы 'M'). Ключевые точки: пересечение с OY $(0, -7)$, пересечения с OX $(\pm 1, 0), (\pm \sqrt{7}, 0)$; максимумы $(-2, 9)$ и $(2, 9)$; минимум $(0, -7)$; точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, 17/9)$.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки для построения графика: пересечения с осями $(\pm 1, 0), (\pm \sqrt{7}, 0), (0, -7)$, максимумы $(-2, 9), (2, 9)$, минимум $(0, -7)$, точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}, 17/9)$.

41.3. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{4 - x}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{2}{x^2 - 1}$;

3) $f(x) = \frac{6x - 6}{x^2 + 3}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$;

5) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2}$;

6) $f(x) = -\frac{2x}{x^2 + 1}$;

7) $f(x) = \frac{2(x - 1)}{x^2}$;

8) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$.

Для построения графика функции проведем полное исследование каждой функции.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$f(-x) = \frac{4-(-x)}{-x+2} = \frac{4+x}{2-x}$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $f(0) = \frac{4-0}{0+2} = 2$. Точка пересечения: $(0, 2)$.
- С осью OX (y=0): $\frac{4-x}{x+2} = 0 \implies 4-x=0 \implies x=4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x = -2$, так как при $x \to -2$ знаменатель стремится к нулю, а числитель к $6$.
$\lim_{x \to -2^-} \frac{4-x}{x+2} = -\infty$, $\lim_{x \to -2^+} \frac{4-x}{x+2} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4-x}{x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1+4/x}{1+2/x} = -1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-1$.

5. Интервалы монотонности и экстремумы.
Найдем производную: $f'(x) = (\frac{4-x}{x+2})' = \frac{-(x+2)-(4-x)}{(x+2)^2} = \frac{-x-2-4+x}{(x+2)^2} = \frac{-6}{(x+2)^2}$.
$f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция убывает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Он состоит из двух ветвей гиперболы. График имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=-1$. Он пересекает оси в точках $(0, 2)$ и $(4, 0)$ и убывает на всей области определения.

Ответ: График функции является гиперболой с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$. Точки пересечения с осями: $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Функция убывает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

1. Область определения: $x^2-1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{2}{(-x)^2-1} = \frac{2}{x^2-1} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{2}{0-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.
- С OX (y=0): $\frac{2}{x^2-1}=0$. Нет решений. Пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=1$ и $x=-1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2-1} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = (\frac{2}{x^2-1})' = \frac{-2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=0$.
При $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
$x=0$ — точка локального максимума. $f(0)=-2$. Точка максимума $(0, -2)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=1$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Точка локального максимума $(0, -2)$. График возрастает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$, убывает на $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

1. Область определения: $x^2+3 > 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{-6x-6}{x^2+3}$. Функция общего вида.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{-6}{3} = -2$. Точка $(0, -2)$.
- С OX (y=0): $6x-6=0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x-6}{x^2+3} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2+18 - 12x^2+12x}{(x^2+3)^2} = \frac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2} = \frac{-6(x^2-2x-3)}{(x^2+3)^2} = \frac{-6(x-3)(x+1)}{(x^2+3)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=3$ и $x=-1$.
$x=-1$ — точка минимума, $f(-1) = \frac{-12}{4}=-3$. Точка $(-1, -3)$.
$x=3$ — точка максимума, $f(3) = \frac{12}{12}=1$. Точка $(3, 1)$.
Функция убывает на $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$, возрастает на $(-1, 3)$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение осей в точках $(0, -2)$ и $(1, 0)$. Точка локального минимума $(-1, -3)$, точка локального максимума $(3, 1)$.

1. Область определения: $x^2-4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{(-x)^2-9}{(-x)^2-4} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{-9}{-4} = 2.25$. Точка $(0, 2.25)$.
- С OX (y=0): $x^2-9=0 \implies x = \pm 3$. Точки $(\pm 3, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=2$ и $x=-2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-9}{x^2-4} = 1$. Асимптота $y=1$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3-8x-2x^3+18x}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=0$.
При $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
При $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
$x=0$ — точка локального минимума. $f(0)=2.25$. Точка минимума $(0, 2.25)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=1$. Пересечение с OX в точках $(\pm 3, 0)$. Точка локального минимума $(0, 2.25)$.

1. Область определения: $4-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{-x}{4-(-x)^2} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С OX (y=0): $x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=2$ и $x=-2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$. В силу нечетности, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{4-x^2} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{1(4-x^2) - x(-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{4-x^2+2x^2}{(4-x^2)^2} = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$.
$f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Экстремумов нет. Функция возрастает на каждом из интервалов $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение с осями в точке $(0, 0)$. Функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

1. Область определения: $x^2+1 > 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = -\frac{2(-x)}{(-x)^2+1} = \frac{2x}{x^2+1} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями:
Пересечение с обеими осями в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2x}{x^2+1} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = - \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = - \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=\pm 1$.
$x=-1$ — точка максимума, $f(-1) = -\frac{-2}{2}=1$. Точка $(-1, 1)$.
$x=1$ — точка минимума, $f(1) = -\frac{2}{2}=-1$. Точка $(1, -1)$.
Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, убывает на $(-1, 1)$.

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение осей в $(0, 0)$. Точка локального максимума $(-1, 1)$, точка локального минимума $(1, -1)$.

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{2(-x-1)}{(-x)^2} = \frac{-2(x+1)}{x^2}$. Функция общего вида.

3. Пересечения с осями:
- С OY: нет, так как $x \neq 0$.
- С OX (y=0): $2(x-1)=0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальная: $x=0$. $\lim_{x \to 0} \frac{2(x-1)}{x^2} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-2}{x^2} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{2(x^2) - 2(x-1)(2x)}{x^4} = \frac{2x-4(x-1)}{x^3} = \frac{-2x+4}{x^3} = \frac{-2(x-2)}{x^3}$.
$f'(x)=0$ при $x=2$.
При $x \in (0, 2)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
При $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
$x=2$ — точка максимума. $f(2) = \frac{2(2-1)}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка $(2, 1/2)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$ (график уходит в $-\infty$ с обеих сторон), горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение с осью OX в точке $(1, 0)$. Точка локального максимума $(2, 1/2)$.

1. Область определения: $x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{4}{-4} = -1$. Точка $(0, -1)$.
- С OX (y=0): $x^2+4=0$. Нет действительных корней. Пересечений с OX нет.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=2$ и $x=-2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+4}{x^2-4} = 1$. Асимптота $y=1$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2+4)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-16x}{(x^2-4)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=0$.
При $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
$x=0$ — точка локального максимума. $f(0)=-1$. Точка $(0, -1)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=1$. Нет пересечений с осью OX. Точка локального максимума $(0, -1)$.

41.4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^2-2x}$;

3) $f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$;

5) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$;

6) $f(x) = \frac{2x}{(x+1)^2}$.

1) $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{-x-3}{-x-1} = \frac{x+3}{x+1}$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат. С осью OY: $x=0$, $f(0) = \frac{0-3}{0-1} = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$. С осью OX: $f(x)=0$, $\frac{x-3}{x-1} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальная асимптота: $x=1$, так как $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$. Исследуем поведение функции около точки разрыва: $\lim_{x \to 1^-} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$. $\lim_{x \to 1^+} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \infty} \frac{x-3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 1$. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. Найдем первую производную: $f'(x) = \left(\frac{x-3}{x-1}\right)' = \frac{(x-3)'(x-1) - (x-3)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - (x-3) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x+3}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2}$. Так как $(x-1)^2 > 0$ при всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ всегда. Следовательно, функция возрастает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Найдем вторую производную: $f''(x) = \left(\frac{2}{(x-1)^2}\right)' = (2(x-1)^{-2})' = 2 \cdot (-2)(x-1)^{-3} \cdot 1 = \frac{-4}{(x-1)^3}$. Знак второй производной зависит от знака $(x-1)^3$. При $x > 1$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый). При $x < 1$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый). Точек перегиба нет, так как $x=1$ не входит в область определения.

Ответ: График функции является гиперболой с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает оси координат в точках $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. График выпуклый вниз при $x<1$ и выпуклый вверх при $x>1$.

2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции. $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 2(-x)} = \frac{1}{x^2+2x}$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат. С осью OY: $x=0$ не входит в область определения, пересечения нет. С осью OX: $f(x)=0$, $\frac{1}{x^2-2x} = 0$, уравнение не имеет решений. Пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты. Вертикальные асимптоты: $x=0$ и $x=2$. $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x(x-2)} = \frac{1}{(-0)(-2)} = +\infty$. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x(x-2)} = \frac{1}{(+0)(-2)} = -\infty$. $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x(x-2)} = \frac{1}{2(-0)} = -\infty$. $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x(x-2)} = \frac{1}{2(+0)} = +\infty$. Прямые $x=0$ и $x=2$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-2x} = 0$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = \left(\frac{1}{x^2-2x}\right)' = -\frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2} = -\frac{2x-2}{(x^2-2x)^2} = \frac{2-2x}{(x^2-2x)^2}$. $f'(x) = 0 \implies 2-2x = 0 \implies x=1$. При $x<1$ (и $x\neq 0$), $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$. При $x>1$ (и $x\neq 2$), $f'(x) < 0$, функция убывает на $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{1}{1^2-2(1)} = -1$. Точка максимума $(1, -1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $f''(x) = \left(\frac{2-2x}{(x^2-2x)^2}\right)' = \frac{-2(x^2-2x)^2 - (2-2x) \cdot 2(x^2-2x)(2x-2)}{((x^2-2x)^2)^2} = \frac{-2(x^2-2x) + 2(2x-2)^2}{(x^2-2x)^3} = \frac{6x^2-12x+8}{(x^2-2x)^3}$. Числитель $6x^2-12x+8$ всегда положителен (дискриминант $D = 144 - 192 < 0$). Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя $(x(x-2))^3$. При $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $(x(x-2))^3 > 0$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз. При $x \in (0; 2)$, $(x(x-2))^3 < 0$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх. Точек перегиба нет.

Ответ: График функции имеет вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Точек пересечения с осями нет. Функция имеет локальный максимум в точке $(1, -1)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$, убывает на $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, выпуклый вверх на $(0; 2)$.

3) $f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции. $1-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1$, следовательно, $x \neq \pm 1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2} = \frac{1+x^2}{1-x^2} = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями координат. С осью OY: $x=0$, $f(0) = \frac{1+0}{1-0} = 1$. Точка $(0, 1)$. С осью OX: $f(x)=0 \implies 1+x^2=0$, решений нет. Пересечений с OX нет.

4. Асимптоты. Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=-1$. $\lim_{x \to 1^-} \frac{1+x^2}{1-x^2} = \frac{2}{0^+} = +\infty$. $\lim_{x \to 1^+} \frac{1+x^2}{1-x^2} = \frac{2}{0^-} = -\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$. Прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+x^2}{1-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}-1} = -1$. Прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)' = \frac{2x(1-x^2) - (1+x^2)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2x-2x^3+2x+2x^3}{(1-x^2)^2} = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$. $f'(x) = 0 \implies 4x = 0 \implies x=0$. При $x>0$ (и $x\neq 1$), $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. При $x<0$ (и $x\neq -1$), $f'(x) < 0$, функция убывает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$. В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума. $f(0)=1$. Точка минимума $(0, 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $f''(x) = \left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)' = \frac{4(1-x^2)^2 - 4x \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{4(1-x^2) + 16x^2}{(1-x^2)^3} = \frac{4+12x^2}{(1-x^2)^3}$. Числитель $4+12x^2 > 0$ всегда. Знак $f''(x)$ зависит от знака $(1-x^2)^3$. При $x \in (-1; 1)$, $1-x^2>0$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз. При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $1-x^2<0$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх. Точек перегиба нет.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=-1, x=1$. Горизонтальная асимптота $y=-1$. Точка локального минимума $(0, 1)$. Функция убывает на $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$, возрастает на $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. График выпуклый вниз на интервале $(-1, 1)$ и выпуклый вверх на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции. $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$. Знаменатель никогда не равен нулю. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = \frac{1}{x^2+1} = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями координат. С осью OY: $x=0$, $f(0) = \frac{1}{0+1} = 1$. Точка $(0, 1)$. С осью OX: $f(x)=0 \implies \frac{1}{x^2+1}=0$, решений нет. Пересечений с OX нет.

4. Асимптоты. Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция определена везде. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = \left(\frac{1}{x^2+1}\right)' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$. $f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0$. При $x>0$, $f'(x) < 0$, функция убывает. При $x<0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x=0$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума. $f(0)=1$. Точка максимума $(0, 1)$. Это также глобальный максимум.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $f''(x) = \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right)' = -\frac{2(x^2+1)^2 - 2x \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = -\frac{2(x^2+1) - 8x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}$. $f''(x) = 0 \implies 6x^2-2 = 0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. При $|x| > \frac{1}{\sqrt{3}}$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз. При $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх. Точки перегиба: $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. $f(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{(1/3)+1} = \frac{3}{4}$. Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$.

Ответ: График функции (известный как "локон Аньези") симметричен относительно оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$. Вертикальных асимптот нет. Глобальный максимум в точке $(0, 1)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$. Точки перегиба $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$. График выпуклый вверх на $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ и выпуклый вниз на $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty)$.

5) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции. $x^2 - 9 \neq 0 \implies x \neq \pm 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2-9} = \frac{-3x}{x^2-9} = -f(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. С осью OY: $x=0$, $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$. С осью OX: $f(x)=0 \implies 3x=0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальные асимптоты: $x=3$ и $x=-3$. $\lim_{x \to 3^+} \frac{3x}{x^2-9} = \frac{9}{+0} = +\infty$. $\lim_{x \to 3^-} \frac{3x}{x^2-9} = \frac{9}{-0} = -\infty$. В силу нечетности, $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty$. Прямые $x=3$ и $x=-3$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2-9} = 0$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2-27-6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2-27}{(x^2-9)^2} = -\frac{3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$. Так как $x^2+9>0$ и $(x^2-9)^2>0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $f''(x) = \left(-\frac{3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}\right)' = -3 \frac{2x(x^2-9)^2 - (x^2+9) \cdot 2(x^2-9)(2x)}{((x^2-9)^2)^2} = -3 \frac{2x(x^2-9) - 4x(x^2+9)}{(x^2-9)^3} = \frac{6x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}$. $f''(x) = 0 \implies 6x(x^2+27)=0 \implies x=0$. Знак $f''(x)$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(x^2-9)^3}$. При $x \in (3, +\infty)$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз. При $x \in (0, 3)$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх. При $x \in (-3, 0)$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз. При $x \in (-\infty, -3)$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх. Точка перегиба при $x=0$. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0,0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно начала координат. Вертикальные асимптоты $x=-3, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График пересекает оси в точке $(0,0)$, которая является точкой перегиба. Функция убывает на всей области определения. График выпуклый вверх на $(-\infty, -3)$ и $(0, 3)$, выпуклый вниз на $(-3, 0)$ и $(3, +\infty)$.

6) $f(x) = \frac{2x}{(x+1)^2}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции. $(x+1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{2(-x)}{(-x+1)^2} = \frac{-2x}{(1-x)^2}$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат. С осью OY: $x=0$, $f(0)=0$. Точка $(0, 0)$. С осью OX: $f(x)=0 \implies 2x=0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальная асимптота: $x=-1$. $\lim_{x \to -1} \frac{2x}{(x+1)^2} = \frac{-2}{+0} = -\infty$. Прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой (обе ветви уходят на $-\infty$). Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x^2+2x+1} = 0$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = \frac{2(x+1)^2 - 2x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1) - 4x}{(x+1)^3} = \frac{2-2x}{(x+1)^3}$. $f'(x) = 0 \implies 2-2x = 0 \implies x=1$. Знаки $f'(x)$ зависят от знаков $2-2x$ и $x+1$. При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{2(1)}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка максимума $(1, 1/2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $f''(x) = \left(\frac{2-2x}{(x+1)^3}\right)' = \frac{-2(x+1)^3 - (2-2x) \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} = \frac{-2(x+1) - 3(2-2x)}{(x+1)^4} = \frac{-2x-2-6+6x}{(x+1)^4} = \frac{4x-8}{(x+1)^4}$. $f''(x) = 0 \implies 4x-8 = 0 \implies x=2$. Знаменатель $(x+1)^4 > 0$ в области определения. При $x>2$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз. При $x<2$ (и $x\neq -1$), $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх. Точка перегиба при $x=2$. $f(2) = \frac{2(2)}{(2+1)^2} = \frac{4}{9}$. Точка перегиба $(2, 4/9)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ (стремится к $-\infty$ с обеих сторон) и горизонтальную асимптоту $y=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$. Функция убывает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, возрастает на $(-1, 1)$. Локальный максимум в точке $(1, 1/2)$. Точка перегиба $(2, 4/9)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, -1)$ и $(-1, 2)$, выпуклый вниз на $(2, +\infty)$.