Страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Докажите неравенство $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$.

Для доказательства неравенства $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$ преобразуем его к виду $\cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0$ и рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2} - 1$. Нашей задачей является доказать, что $f(x) \ge 0$ для всех действительных чисел $x$.

Для исследования функции найдем ее производные.Первая производная функции $f(x)$ равна:$f'(x) = (\cos x + \frac{x^2}{2} - 1)' = -\sin x + \frac{2x}{2} = x - \sin x$.

Чтобы определить знак $f'(x)$, исследуем ее на монотонность. Для этого найдем вторую производную функции $f(x)$ (то есть производную от $f'(x)$):$f''(x) = (x - \sin x)' = 1 - \cos x$.

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.Следовательно, $f''(x) = 1 - \cos x \ge 1 - 1 = 0$.Поскольку вторая производная $f''(x)$ всегда неотрицательна ($f''(x) \ge 0$), первая производная $f'(x)$ является неубывающей функцией на всей числовой оси.

Найдем значение первой производной в точке $x=0$:$f'(0) = 0 - \sin 0 = 0$.

Так как $f'(x)$ является неубывающей функцией и $f'(0)=0$, мы можем сделать вывод о знаке $f'(x)$:- при $x > 0$ выполняется $f'(x) \ge f'(0)$, то есть $f'(x) \ge 0$;- при $x < 0$ выполняется $f'(x) \le f'(0)$, то есть $f'(x) \le 0$.

Теперь проанализируем поведение исходной функции $f(x)$. Знак ее производной $f'(x)$ говорит о том, что:- на интервале $(-\infty, 0]$ функция $f(x)$ убывает (или, точнее, не возрастает), так как ее производная $f'(x) \le 0$;- на интервале $[0, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает (точнее, не убывает), так как ее производная $f'(x) \ge 0$.

Из этого следует, что в точке $x=0$ функция $f(x)$ достигает своего наименьшего (глобального) значения.

Вычислим это минимальное значение:$f(0) = \cos 0 + \frac{0^2}{2} - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.

Поскольку минимальное значение функции $f(x)$ равно 0, это означает, что для всех действительных $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge 0$.Таким образом, $\cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0$, что равносильно доказываемому неравенству $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$ доказано.

2. Докажите неравенство $x < \operatorname{tg}x$, где $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для доказательства данного неравенства введём вспомогательную функцию $f(x) = \tg x - x$. Нам необходимо доказать, что $f(x) > 0$ при всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Для этого исследуем поведение функции с помощью её производной. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\tg x - x)' = (\tg x)' - (x)'$

Производная тангенса равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, а производная $x$ равна 1. Таким образом, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$

Рассмотрим знак производной на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале значение косинуса $ \cos x $ находится в пределах $0 < \cos x < 1$. Следовательно, его квадрат $ \cos^2 x $ также удовлетворяет неравенству $0 < \cos^2 x < 1$.

Из этого следует, что дробь $\frac{1}{\cos^2 x}$ будет строго больше 1. Значит, производная $f'(x)$ на всём интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ строго положительна:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 > 0$

Поскольку производная функции положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.

Теперь найдём значение функции на левой границе рассматриваемого интервала, то есть при $x=0$:

$f(0) = \tg 0 - 0 = 0$

Так как функция $f(x)$ строго возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $f(0) = 0$, то для любого $x$ из этого интервала будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.

Это означает, что $\tg x - x > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Перенеся $x$ в правую часть неравенства, получаем $ \tg x > x $, что эквивалентно исходному неравенству $x < \tg x$.

Таким образом, неравенство доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $x < \tg x$ для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ доказано.

3. Решите уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1-8x}$.

Данное уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1 - 8x}$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$1 - 8x \ge 0$
$1 \ge 8x$
$x \le \frac{1}{8}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1}{8}]$.

Решить это уравнение стандартными алгебраическими методами (например, возведением в квадрат) затруднительно, так как это приведет к полиномиальному уравнению 14-й степени. Вместо этого проанализируем поведение функций в левой и правой частях уравнения.

Рассмотрим две функции:
Левая часть: $f(x) = 3x^7 + x + 7$
Правая часть: $g(x) = \sqrt{1 - 8x}$

Исследуем эти функции на монотонность на области допустимых значений.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^7 + x + 7)' = 21x^6 + 1$
Поскольку $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$), то $21x^6 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 21x^6 + 1 \ge 1 > 0$ для любых действительных значений $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, включая ОДЗ.

Теперь найдем производную функции $g(x)$ для $x < \frac{1}{8}$:
$g'(x) = (\sqrt{1 - 8x})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 8x}} \cdot (1 - 8x)' = \frac{-8}{2\sqrt{1 - 8x}} = -\frac{4}{\sqrt{1 - 8x}}$
На интервале $(-\infty, \frac{1}{8})$ знаменатель $\sqrt{1 - 8x}$ строго положителен, поэтому значение производной $g'(x)$ всегда отрицательно. Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения.

Мы имеем уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(x)$ — строго убывающая функция. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Если корень существует, то он единственный.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя простые целые числа из области допустимых значений ($x \le \frac{1}{8}$).
Проверим значение $x = -1$.
Подставим в левую часть уравнения:
$3(-1)^7 + (-1) + 7 = 3(-1) - 1 + 7 = -3 - 1 + 7 = 3$
Подставим в правую часть уравнения:
$\sqrt{1 - 8(-1)} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$
Левая часть равна правой ($3=3$), следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения.

Так как было доказано, что уравнение может иметь не более одного решения, найденный корень $x = -1$ является единственным.
Ответ: $-1$.

4. Решите уравнение

$x^5 + 4x + \cos x = 1$

Рассмотрим данное уравнение: $x^5 + 4x + \cos x = 1$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$: $x^5 + 4x + \cos x - 1 = 0$.

Введем функцию $f(x) = x^5 + 4x + \cos x - 1$.

Попробуем найти корень уравнения методом подбора. Проверим значение функции при $x=0$: $f(0) = 0^5 + 4 \cdot 0 + \cos(0) - 1 = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$. Следовательно, $x=0$ является корнем данного уравнения.

Чтобы определить, есть ли у уравнения другие корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(x) = (x^5 + 4x + \cos x - 1)' = 5x^4 + 4 - \sin x$.

Оценим знак производной. Нам известно, что:

• $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $5x^4 \ge 0$.
• Функция $\sin x$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Тогда для производной $f'(x) = 5x^4 + 4 - \sin x$ можно записать оценку: $f'(x) = 5x^4 + (4 - \sin x)$. Минимальное значение $5x^4$ равно $0$. Минимальное значение выражения $4 - \sin x$ достигается при максимальном значении $\sin x = 1$ и равно $4 - 1 = 3$. Таким образом, $f'(x) \ge 0 + 3 = 3$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) \ge 3$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Так как мы уже нашли один корень $x=0$, он является единственным решением уравнения.

Ответ: $0$.

5. Решите уравнение $x^3 + 2x = \sin x$.

Данное уравнение $x^3 + 2x = \sin x$ является трансцендентным, и для его решения удобно использовать метод анализа функций.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $x^3 + 2x - \sin x = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 2x - \sin x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) = 0$.

Сначала попробуем найти очевидные корни. Подставим $x=0$: $f(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 - \sin 0 = 0 + 0 - 0 = 0$. Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что этот корень единственный. Для этого исследуем функцию $f(x)$ на монотонность с помощью ее производной.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x^3 + 2x - \sin x)' = 3x^2 + 2 - \cos x$.

Оценим знак производной. Нам известно, что:

1. Выражение $3x^2$ всегда неотрицательно, то есть $3x^2 \ge 0$ для любого $x$.
2. Функция $\cos x$ принимает значения в диапазоне от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Рассмотрим выражение $2 - \cos x$. Так как максимальное значение $\cos x$ равно 1, минимальное значение выражения $2 - \cos x$ будет $2 - 1 = 1$. Таким образом, $2 - \cos x \ge 1$.

Теперь мы можем оценить всю производную: $f'(x) = 3x^2 + (2 - \cos x)$. Поскольку $3x^2 \ge 0$ и $(2 - \cos x) \ge 1$, их сумма всегда будет больше или равна 1: $f'(x) \ge 0 + 1 = 1$.

Так как производная $f'(x)$ всегда строго положительна ($f'(x) \ge 1 > 0$) для всех действительных значений $x$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x=0$, других корней у уравнения быть не может.

Ответ: $x=0$.

6. Решите неравенство $x^7 + 3x > 2x^4 + 2$.

6.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$x^7 + 3x - 2x^4 - 2 > 0$

Перегруппируем члены по степеням $x$:

$x^7 - 2x^4 + 3x - 2 > 0$

Для решения этого неравенства введем функцию $f(x) = x^7 - 2x^4 + 3x - 2$. Наша задача — найти все значения $x$, для которых $f(x) > 0$.

Сначала попробуем найти корни уравнения $f(x) = 0$. Проверим целые делители свободного члена (-2), то есть числа $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = 1$ в функцию:

$f(1) = 1^7 - 2(1)^4 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$.

Так как $f(1) = 0$, то $x=1$ является корнем уравнения. Это означает, что график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $x=1$.

Чтобы определить знак функции на промежутках, исследуем ее на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (x^7 - 2x^4 + 3x - 2)' = 7x^6 - 8x^3 + 3$.

Определим знак производной $f'(x)$. Для этого сделаем замену переменной $y = x^3$. Тогда выражение для производной можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $y$:

$7y^2 - 8y + 3$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 64 - 84 = -20$.

Дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 7 > 0$). Это означает, что парабола $7y^2 - 8y + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть принимает только положительные значения при любом действительном значении $y$.

Так как $y = x^3$ может принимать любое действительное значение (для любого $x \in \mathbb{R}$), то производная $f'(x) = 7x^6 - 8x^3 + 3$ всегда положительна для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения (на всей числовой прямой).

Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Мы уже нашли этот корень: $x=1$. Так как функция $f(x)$ строго возрастает и $f(1)=0$, мы можем сделать следующие выводы:

1. Для всех $x > 1$, значение функции будет больше, чем в точке 1, то есть $f(x) > f(1) \Rightarrow f(x) > 0$.

2. Для всех $x < 1$, значение функции будет меньше, чем в точке 1, то есть $f(x) < f(1) \Rightarrow f(x) < 0$.

Исходное неравенство $x^7 - 2x^4 + 3x - 2 > 0$ эквивалентно $f(x) > 0$. Согласно нашему анализу, это неравенство выполняется при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

7. Решите неравенство $x^5 + 4x < 2x^3 + 3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить неравенство вида $P(x) < 0$:

$x^5 + 4x - 2x^3 - 3 < 0$

Расположим члены многочлена по убыванию степеней:

$x^5 - 2x^3 + 4x - 3 < 0$

Рассмотрим многочлен в левой части: $P(x) = x^5 - 2x^3 + 4x - 3$. Для решения неравенства нам нужно найти корни этого многочлена. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -3. Возможные целые корни: $\pm1, \pm3$.

Подставим $x=1$ в многочлен:

$P(1) = 1^5 - 2(1)^3 + 4(1) - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0$

Поскольку $P(1)=0$, то $x=1$ является корнем многочлена, а следовательно, многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x-1)$ без остатка. Выполнив деление (например, по схеме Горнера или "в столбик"), получим:

$x^5 - 2x^3 + 4x - 3 = (x - 1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3)$

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$(x - 1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$

Чтобы решить это неравенство, нам нужно определить знаки обоих множителей. Исследуем знак второго множителя, $Q(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3$. Для этого найдем его наименьшее значение с помощью производной.

Найдем производную функции $Q(x)$:

$Q'(x) = (x^4 + x^3 - x^2 - x + 3)' = 4x^3 + 3x^2 - 2x - 1$

Найдем критические точки, решив уравнение $Q'(x) = 0$:

$4x^3 + 3x^2 - 2x - 1 = 0$

Легко заметить, что $x = -1$ является корнем этого уравнения: $4(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = -4 + 3 + 2 - 1 = 0$.

Разделив $4x^3 + 3x^2 - 2x - 1$ на $(x+1)$, получим квадратный трехчлен $4x^2 - x - 1$. Таким образом, производную можно разложить на множители:

$Q'(x) = (x+1)(4x^2 - x - 1)$

Остальные критические точки найдем из уравнения $4x^2 - x - 1 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$

Итак, у функции $Q(x)$ три критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{8}$, $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$.

Чтобы определить, являются ли эти точки точками минимума или максимума, можно использовать вторую производную, $Q''(x) = 12x^2 + 6x - 2$, или проанализировать знаки первой производной на интервалах. Анализ показывает, что точки $x_1 = -1$ и $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$ являются точками локального минимума.

Вычислим значения функции $Q(x)$ в этих точках минимума:

$Q(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 1 + 3 = 3$

Значение во второй точке минимума $Q(\frac{1 + \sqrt{17}}{8})$ также положительно (его точное значение $\frac{1429 - 51\sqrt{17}}{512} > 0$).

Поскольку оба локальных минимума функции $Q(x)$ положительны, а при $x \to \pm\infty$ функция $Q(x) \to +\infty$ (так как старшая степень четная с положительным коэффициентом), то наименьшее значение функции $Q(x)$ положительно. Это означает, что $Q(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3 > 0$ для всех действительных значений $x$.

Так как множитель $(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3)$ всегда положителен, он не влияет на знак произведения. Следовательно, знак левой части неравенства $(x - 1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$ определяется знаком первого множителя $(x-1)$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно простому линейному неравенству:

$x - 1 < 0$

Решая его, получаем:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

8. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x - y = \sin x - \sin y \\ 3x + 4y = 7 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $x - y = \sin x - \sin y$. Перепишем его, сгруппировав переменные: $x - \sin x = y - \sin y$.

Введем функцию $f(t) = t - \sin t$. Тогда первое уравнение системы можно записать в виде $f(x) = f(y)$.

Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(t) = (t - \sin t)' = 1 - \cos t$.

Известно, что для любого действительного числа $t$ выполняется неравенство $-1 \le \cos t \le 1$. Следовательно, производная $f'(t) = 1 - \cos t$ всегда неотрицательна, то есть $f'(t) \ge 0$. Равенство $f'(t) = 0$ достигается только в тех точках, где $\cos t = 1$, то есть при $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку производная функции неотрицательна и обращается в ноль лишь в изолированных точках, а на интервалах между ними она строго положительна, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно тогда и только тогда, когда $x = y$. Таким образом, первое уравнение системы равносильно равенству $x = y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение системы: $3x + 4y = 7$ $3x + 4x = 7$ $7x = 7$ $x = 1$

Поскольку $x = y$, то $y = 1$. Таким образом, единственным решением системы является пара чисел $(1, 1)$.

Выполним проверку:
При $x=1$ и $y=1$ первое уравнение принимает вид: $1 - 1 = \sin(1) - \sin(1)$, или $0 = 0$, что является верным равенством.
Второе уравнение: $3(1) + 4(1) = 7$, или $7=7$, что также верно.

Ответ: $(1; 1)$.

9. Решите систему уравнений $\begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases} $$

Для решения системы выразим переменную y из второго уравнения через x:

$$ y = 8 - x $$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ 2x - 2(8 - x) = \cos(8 - x) - \cos x $$

Упростим левую часть полученного уравнения:

$$ 2x - 16 + 2x = \cos(8 - x) - \cos x $$

$$ 4x - 16 = \cos(8 - x) - \cos x $$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$:

$$ 4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x) = 0 $$

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x)$. Чтобы определить количество решений уравнения $f(x) = 0$, исследуем эту функцию на монотонность с помощью ее производной $f'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$$ f'(x) = (4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x))' $$

$$ f'(x) = 4 - \sin x - (-\sin(8 - x)) \cdot (8 - x)' $$

$$ f'(x) = 4 - \sin x + \sin(8 - x) \cdot (-1) = 4 - \sin x - \sin(8 - x) $$

$$ f'(x) = 4 - (\sin x + \sin(8 - x)) $$

Оценим область значений производной. Известно, что область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \sin(8 - x) \le 1$.

Для суммы этих двух синусов справедливо следующее двойное неравенство:

$$ -1 + (-1) \le \sin x + \sin(8 - x) \le 1 + 1 $$

$$ -2 \le \sin x + \sin(8 - x) \le 2 $$

Используя это, оценим диапазон значений для $f'(x)$:

Минимальное значение $f'(x)$ достигается, когда $\sin x + \sin(8 - x)$ максимально, то есть равно 2: $f'_{\text{min}} = 4 - 2 = 2$.

Максимальное значение $f'(x)$ достигается, когда $\sin x + \sin(8 - x)$ минимально, то есть равно -2: $f'_{\text{max}} = 4 - (-2) = 6$.

Таким образом, для любого действительного x выполняется неравенство $2 \le f'(x) \le 6$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) > 0$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень подбором. Проверим значение $x=4$:

$$ f(4) = 4 \cdot 4 - 16 + \cos 4 - \cos(8 - 4) = 16 - 16 + \cos 4 - \cos 4 = 0 $$

Поскольку $f(4) = 0$, $x=4$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, мы его нашли.

Теперь найдем соответствующее значение y, используя выражение из второго уравнения системы:

$$ y = 8 - x = 8 - 4 = 4 $$

Таким образом, единственным решением данной системы уравнений является пара чисел $(4; 4)$.

Ответ: $(4; 4)$.

10. Решите уравнение $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$.

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases}5 - x \ge 0 \\x - 3 \ge 0\end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases}x \le 5 \\x \ge 3\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [3, 5]$.

Теперь рассмотрим левую и правую части уравнения как две отдельные функции на отрезке $[3, 5]$.

1. Анализ левой части уравнения.

Пусть $f(x) = \sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}$. Найдем наибольшее значение этой функции на отрезке $[3, 5]$. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3})' = \frac{(5-x)'}{2\sqrt{5-x}} + \frac{(x-3)'}{2\sqrt{x-3}} = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2\sqrt{5-x}}$

$\sqrt{x-3} = \sqrt{5-x}$

$x-3 = 5-x$

$2x = 8$

$x = 4$.

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[3, 5]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$f(3) = \sqrt{5-3} + \sqrt{3-3} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

$f(5) = \sqrt{5-5} + \sqrt{5-3} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$

$f(4) = \sqrt{5-4} + \sqrt{4-3} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1+1=2$

Таким образом, наибольшее значение левой части уравнения на ОДЗ равно 2, то есть $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \le 2$.

2. Анализ правой части уравнения.

Пусть $g(x) = x^2 - 8x + 18$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:

$g(x) = x^2 - 8x + 16 - 16 + 18 = (x-4)^2 + 2$.

Поскольку $(x-4)^2 \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение функции $g(x)$ достигается при $x=4$ и равно 2. Вершина параболы находится в точке $(4, 2)$.

Таким образом, для любого $x$ из ОДЗ (и вообще для любого действительного $x$) правая часть уравнения не меньше 2, то есть $x^2 - 8x + 18 \ge 2$.

3. Решение уравнения.

Исходное уравнение $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$ может иметь решение только в том случае, когда обе его части равны. Мы установили, что:

Левая часть: $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \le 2$

Правая часть: $x^2 - 8x + 18 \ge 2$

Равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2:

$\begin{cases}\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = 2 \\x^2 - 8x + 18 = 2\end{cases}$

Как мы выяснили, левая часть равна 2 только при $x=4$, а правая часть равна 2 тоже только при $x=4$.

Следовательно, единственным решением системы и исходного уравнения является $x=4$.

Проверка:

Подставим $x=4$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5-4} + \sqrt{4-3} = 4^2 - 8(4) + 18$

$\sqrt{1} + \sqrt{1} = 16 - 32 + 18$

$1 + 1 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 4.

11. Решите уравнение $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x}=x^2+6x+13$.

Решим уравнение $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} = x^2+6x+13$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-7; 1]$.

Теперь проанализируем левую и правую части уравнения на этой области определения.

1. Левая часть: $f(x) = \sqrt{x+7}+\sqrt{1-x}$

Найдем наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-7; 1]$. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} \cdot (x+7)' + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (1-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x)=0 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x+7}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$\sqrt{x+7} = \sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$x+7 = 1-x$

$2x = -6$

$x = -3$

Точка $x=-3$ принадлежит ОДЗ $[-7; 1]$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

$f(-7) = \sqrt{-7+7} + \sqrt{1-(-7)} = \sqrt{0} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$f(1) = \sqrt{1+7} + \sqrt{1-1} = \sqrt{8} + \sqrt{0} = 2\sqrt{2}$

$f(-3) = \sqrt{-3+7} + \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2+2=4$

Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение левой части на ОДЗ равно 4. Таким образом, для любого $x \in [-7; 1]$ выполняется неравенство $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} \le 4$.

2. Правая часть: $g(x) = x^2+6x+13$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем координату $x$ вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

Вершина параболы находится в точке $x=-3$, которая принадлежит ОДЗ. Найдем наименьшее значение функции в этой точке:

$g(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$

Таким образом, наименьшее значение правой части на ОДЗ равно 4. То есть, для любого $x \in [-7; 1]$ выполняется неравенство $x^2+6x+13 \ge 4$.

3. Решение уравнения

Мы получили систему оценок для левой и правой частей уравнения:

$\begin{cases} \sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} \le 4 \\ x^2+6x+13 \ge 4 \end{cases}$

Равенство $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} = x^2+6x+13$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 4:

$\begin{cases} \sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} = 4 \\ x^2+6x+13 = 4 \end{cases}$

Мы выяснили, что обе эти функции принимают значение 4 в одной и той же точке $x=-3$.

Выполним проверку. Подставим $x=-3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{-3+7}+\sqrt{1-(-3)} = (-3)^2+6(-3)+13$

$\sqrt{4}+\sqrt{4} = 9-18+13$

$2+2 = 4$

$4=4$

Равенство верное. Следовательно, $x=-3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $-3$.