gdz.top
Номер 8, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств - номер 8, страница 309.
№7
№8 (с. 309)
Условие. №8 (с. 309)
8. Решите систему уравнений
$\begin{cases} x - y = \sin x - \sin y \\ 3x + 4y = 7 \end{cases}$
Решение 1. №8 (с. 309)
Решение 5. №8 (с. 309)
Рассмотрим первое уравнение системы: $x - y = \sin x - \sin y$. Перепишем его, сгруппировав переменные: $x - \sin x = y - \sin y$.
Введем функцию $f(t) = t - \sin t$. Тогда первое уравнение системы можно записать в виде $f(x) = f(y)$.
Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(t) = (t - \sin t)' = 1 - \cos t$.
Известно, что для любого действительного числа $t$ выполняется неравенство $-1 \le \cos t \le 1$. Следовательно, производная $f'(t) = 1 - \cos t$ всегда неотрицательна, то есть $f'(t) \ge 0$. Равенство $f'(t) = 0$ достигается только в тех точках, где $\cos t = 1$, то есть при $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку производная функции неотрицательна и обращается в ноль лишь в изолированных точках, а на интервалах между ними она строго положительна, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно тогда и только тогда, когда $x = y$. Таким образом, первое уравнение системы равносильно равенству $x = y$.
Подставим $x = y$ во второе уравнение системы: $3x + 4y = 7$ $3x + 4x = 7$ $7x = 7$ $x = 1$
Поскольку $x = y$, то $y = 1$. Таким образом, единственным решением системы является пара чисел $(1, 1)$.
Выполним проверку:
При $x=1$ и $y=1$ первое уравнение принимает вид: $1 - 1 = \sin(1) - \sin(1)$, или $0 = 0$, что является верным равенством.
Второе уравнение: $3(1) + 4(1) = 7$, или $7=7$, что также верно.
Ответ: $(1; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 309 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 309), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.