Номер 42.4, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.4. Найдите нули функции:

1) $f(x) = \sqrt{x + 7};$

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1};$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 6};$

4) $f(x) = (x - 3)\sqrt{x - 4}.$

1) $f(x) = \sqrt{x + 7}$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо найти ее область определения (ОДЗ) и решить уравнение $f(x) = 0$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 7 \ge 0$

$x \ge -7$

Таким образом, область определения функции $D(f) = [-7, +\infty)$.

2. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$\sqrt{x + 7} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x + 7 = 0$

$x = -7$

3. Проверим, принадлежит ли найденный корень области определения. Значение $x = -7$ удовлетворяет условию $x \ge -7$, следовательно, является нулем функции.

Ответ: -7

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x - 1 \ne 0$

$x \ne 1$

Область определения $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Приравняем функцию к нулю:

$\frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель ($x \ne 1$) мы уже учли в ОДЗ.

Решим уравнение для числителя:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области определения. Корень $x = -5$ принадлежит ОДЗ. Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ. Следовательно, $x=1$ является посторонним корнем.

Таким образом, функция имеет только один нуль.

Ответ: -5

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 6}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 6 \ge 0$

$x^2 \ge 6$

Решением этого неравенства является $|x| \ge \sqrt{6}$, что равносильно совокупности:

$x \le -\sqrt{6}$ или $x \ge \sqrt{6}$.

Область определения $D(f) = (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, +\infty)$.

2. Теперь решим уравнение $f(x) = 0$:

$\sqrt{x^2 - 6} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 6$

$x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$

3. Оба корня, $x = \sqrt{6}$ и $x = -\sqrt{6}$, принадлежат области определения функции.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$

4) $f(x) = (x - 3)\sqrt{x - 4}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Область определения $D(f) = [4, +\infty)$.

2. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$(x - 3)\sqrt{x - 4} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все множители определены. Условия определения мы учли в ОДЗ.

Рассмотрим два случая:

а) $x - 3 = 0 \implies x = 3$

б) $\sqrt{x - 4} = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$

3. Проверим найденные значения на принадлежность области определения $D(f) = [4, +\infty)$.

Значение $x = 3$ не входит в область определения, так как $3 < 4$. Следовательно, это посторонний корень.

Значение $x = 4$ входит в область определения, так как $4 \ge 4$. Следовательно, это нуль функции.

Ответ: 4