Номер 42.7, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.7. Задайте формулой какую-нибудь функцию, область значений которой:

1) состоит из одного числа;

2) состоит из двух чисел;

3) промежуток $(1; 2)$.

1) состоит из одного числа

Чтобы область значений функции состояла из одного числа, функция должна при любом значении аргумента $x$ принимать одно и то же значение. Такие функции называются постоянными или константами.

Общий вид такой функции: $y = C$, где $C$ – некоторое постоянное число.

Например, выберем число 5. Тогда функция, заданная формулой $y = 5$, будет иметь область значений, состоящую только из этого числа. Для любого действительного $x$ значение $y$ будет равно 5.

Область определения такой функции – все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), а область значений – множество, содержащее единственный элемент $\{5\}$ ($E(y) = \{5\}$).

Ответ: $y = 5$ (или $y=C$, где $C$ – любое число).

2) состоит из двух чисел

Чтобы область значений функции состояла из двух чисел, нужно задать формулу, которая может давать только два различных значения. В качестве примера можно использовать функции, содержащие модуль или знак числа.

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения этой функции – все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$).

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает значение $y = \frac{x}{x} = 1$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает значение $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Таким образом, для любых ненулевых значений аргумента $x$ функция принимает только значения 1 или -1. Её область значений состоит из двух чисел: $E(y) = \{-1; 1\}$.

Другим примером может служить функция, использующая целую часть числа: $y = (-1)^{\lfloor x \rfloor}$. Поскольку $\lfloor x \rfloor$ (целая часть $x$) всегда является целым числом, $(-1)$ в целой степени будет равно либо 1 (если степень четная), либо -1 (если степень нечетная). Область значений этой функции также $E(y) = \{-1; 1\}$.

Ответ: $y = \frac{|x|}{x}$.

3) промежуток (1; 2)

Требуется найти функцию, область значений которой – это открытый интервал $(1; 2)$. Это означает, что значения функции $y$ должны удовлетворять строгому неравенству $1 < y < 2$.

Для этого можно взять функцию, у которой есть две горизонтальные асимптоты, и затем преобразовать её.

1. Возьмем за основу функцию, область значений которой – известный открытый интервал, например, $(0; 1)$. Примером такой функции является логистическая функция $f(x) = \frac{1}{1+e^x}$.
- При $x \to +\infty$, знаменатель $1+e^x \to +\infty$, и значение функции $f(x) \to 0$.
- При $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, знаменатель $1+e^x \to 1$, и значение функции $f(x) \to 1$.
Поскольку функция монотонно убывает, ее область значений – это интервал $(0; 1)$.

2. Теперь преобразуем эту функцию так, чтобы ее область значений стала $(1; 2)$. Интервал $(1; 2)$ можно получить из интервала $(0; 1)$ путем сдвига вверх на 1. Для этого к нашей функции нужно прибавить 1.

Получаем искомую функцию: $y = \frac{1}{1+e^x} + 1$.

Проверим её область значений:

• При $x \to +\infty$, $y \to 0 + 1 = 1$.
• При $x \to -\infty$, $y \to 1 + 1 = 2$.

Значения функции строго больше 1 и строго меньше 2, то есть область значений $E(y) = (1; 2)$.

Другой вариант — использовать функцию арктангенса $y = \arctan(x)$, область значений которой $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и выполнить линейное преобразование для получения интервала $(1; 2)$. Функция будет $y = \frac{1}{\pi}\arctan(x) + 1.5$.

Ответ: $y = \frac{1}{1+e^x} + 1$.