Номер 42.8, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.8. Постройте график какой-нибудь функции, область определения которой — промежуток $ [-2; 6] $, область значений — промежуток $ [-1; 3] $ и которая убывает на промежутке $ [-2; 1] $, возрастает на промежутке $ [1; 6] $, принимает положительные значения на промежутке $ [-2; 0) $ и отрицательные на промежутке $ (0; 6] $.

Для построения графика функции $y=f(x)$, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать каждое из них и на их основе определить вид графика и его ключевые точки.

Проанализируем предоставленные условия:

• Область определения $D(f) = [-2; 6]$: График функции должен быть определён для всех значений $x$ в этом промежутке, то есть он будет начинаться при $x=-2$ и заканчиваться при $x=6$.
• Область значений $E(f) = [-1; 3]$: Все значения функции $y$ находятся в этом промежутке. Это означает, что наименьшее значение функции (абсолютный минимум) равно -1, а наибольшее (абсолютный максимум) равно 3.
• Монотонность: Функция убывает на промежутке $[-2; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; 6]$. Из этого следует, что точка $x=1$ является точкой минимума. Совмещая это с областью значений, получаем, что точка минимума имеет координаты $(1, -1)$.
• Знаки функции: Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутке $[-2; 0)$ и отрицательные значения ($y < 0$) на промежутке $(0; 6]$. Это означает, что при $x=0$ функция меняет знак, то есть пересекает ось абсцисс. Следовательно, $f(0)=0$, и точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Теперь определим значения функции на концах области определения. Максимальное значение функции равно 3. Так как на $[-2; 1]$ функция убывает, а на $[1; 6]$ возрастает, максимум может быть достигнут только в одной из граничных точек области определения: $x=-2$ или $x=6$. Условие о знаках функции гласит, что $f(-2) > 0$, а $f(6) < 0$. Таким образом, максимальное значение 3 достигается в точке $x=-2$. Координаты точки максимума — $(-2, 3)$.

В конечной точке области определения, при $x=6$, значение функции $f(6)$ должно быть отрицательным. Кроме того, на промежутке $[1; 6]$ функция возрастает от своего минимума $f(1)=-1$. Следовательно, значение $f(6)$ должно удовлетворять неравенству $-1 < f(6) < 0$. Для построения графика можно выбрать любое конкретное значение из этого интервала, например, $f(6) = -0.5$.

Таким образом, мы получили ключевые точки, через которые должен проходить график:

• Точка максимума: $(-2, 3)$.
• Точка пересечения с осями: $(0, 0)$.
• Точка минимума: $(1, -1)$.
• Конечная точка: $(6, -0.5)$ (значение ординаты может быть любым в интервале $(-1, 0)$).

Самый простой способ построить такой график — соединить эти точки отрезками прямых. Полученная ломаная будет графиком кусочно-линейной функции, которая удовлетворяет всем заданным условиям.

Ответ:

Один из возможных графиков, удовлетворяющих условиям задачи, — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами $(-2, 3)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$ и $(6, -0.5)$.

Построение графика заключается в следующем:

1. На координатной плоскости отметить точки $A(-2, 3)$, $B(0, 0)$, $C(1, -1)$ и $D(6, -0.5)$.
2. Последовательно соединить отрезками точки A и B, B и C, C и D.

Полученная ломаная линия $ABCD$ является графиком функции, которая убывает на промежутке $[-2; 1]$ (от точки A до точки C), возрастает на промежутке $[1; 6]$ (от точки C до точки D), имеет область определения $[-2; 6]$, область значений $[-1; 3]$, положительна на $[-2; 0)$ и отрицательна на $(0; 6]$.