Номер 42.15, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.15. Решите неравенство:

1) $\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)} < 0;$

2) $\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)} \le 0;$

3) $\frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)^2} \le 0;$

4) $\frac{x-5}{(x+2)(x-3)^2} < 0;$

5) $\frac{(2x+1)^2(x-2)}{x^5(x+1)^4} \ge 0;$

6) $\frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x^2 - 5x + 6} > 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x + 3)^2}{(x + 2)(x - 5)} < 0$ методом интервалов.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю. $(x + 2)(x - 5) \neq 0$, откуда $x \neq -2$ и $x \neq 5$.

Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $(x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3$. Корень имеет кратность 2 (четная), значит, при переходе через эту точку знак выражения меняться не будет. Нули знаменателя: $(x + 2)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 5$. Оба корня имеют кратность 1 (нечетная), при переходе через них знак будет меняться.

Отметим точки -3, -2, 5 на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), все точки будут выколотыми.

Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(5, \infty)$, например $x = 6$:
$\frac{(6 + 3)^2}{(6 + 2)(6 - 5)} = \frac{9^2}{8 \cdot 1} > 0$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки с учетом кратности корней:
- Интервал $(5, \infty)$: +
- Интервал $(-2, 5)$: - (знак меняется, т.к. кратность корня $x=5$ нечетная)
- Интервал $(-3, -2)$: + (знак меняется, т.к. кратность корня $x=-2$ нечетная)
- Интервал $(-\infty, -3)$: + (знак не меняется, т.к. кратность корня $x=-3$ четная)

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть выбираем интервал со знаком "-". Это интервал $(-2, 5)$.

Ответ: $x \in (-2, 5)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x + 3)^2}{(x + 2)(x - 5)} \le 0$.

Это неравенство отличается от предыдущего только знаком (нестрогое). Используем те же точки и знаки на интервалах. ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 5$. Нули: $x = -3$ (четная кратность), $x = -2$ (нечетная), $x = 5$ (нечетная).

Так как неравенство нестрогое ($\le$), нуль числителя $x = -3$ является решением, если он входит в ОДЗ. Он входит. Нули знаменателя $x = -2$ и $x = 5$ по-прежнему исключаются.

Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -2): +$; $(-2, 5): -$; $(5, \infty): +$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. - Меньше нуля на интервале $(-2, 5)$. - Равно нулю при $x = -3$.

Объединяем эти решения.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup (-2, 5)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x + 2)(x - 5)}{(x - 3)^2} \le 0$.

ОДЗ: $(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Нули числителя: $(x + 2)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 5$. Кратность 1 (нечетная). Нуль знаменателя: $(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$. Кратность 2 (четная).

Отметим точки на оси. $x = -2$ и $x = 5$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а $x = 3$ — выколотой (ОДЗ).

Определим знаки. Пробная точка $x=6$: $\frac{(6+2)(6-5)}{(6-3)^2} > 0$. Знаки на интервалах: $(-\infty, -2]: +$; $[-2, 3): -$; $(3, 5]: -$; $[5, \infty): +$. Знак не меняется при переходе через $x=3$ (четная кратность).

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервалов $[-2, 3)$ и $(3, 5]$.

Ответ: $x \in [-2, 3) \cup (3, 5]$.

4) Решим неравенство $\frac{x - 5}{(x + 2)(x - 3)^2} < 0$.

ОДЗ: $(x + 2)(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2, x \neq 3$.

Нуль числителя: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ (кратность 1, нечетная). Нули знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (кратность 1, нечетная); $(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (кратность 2, четная).

Отметим точки на оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знаки. Пробная точка $x=6$: $\frac{6-5}{(6+2)(6-3)^2} > 0$. Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 3): -$; $(3, 5): -$; $(5, \infty): +$. Знак не меняется при переходе через $x=3$ (четная кратность).

Выбираем интервалы со знаком "-". Это $(-2, 3)$ и $(3, 5)$.

Ответ: $x \in (-2, 3) \cup (3, 5)$.

5) Решим неравенство $\frac{(2x + 1)^2 (x - 2)}{x^5 (x + 1)^4} \ge 0$.

ОДЗ: $x^5 (x + 1)^4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -1$.

Нули числителя: $(2x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -0.5$ (кратность 2, четная); $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (кратность 1, нечетная). Нули знаменателя: $x^5 = 0 \Rightarrow x = 0$ (кратность 5, нечетная); $(x + 1)^4 = 0 \Rightarrow x = -1$ (кратность 4, четная).

Отметим точки на оси. $x = -0.5$ и $x = 2$ — закрашенные; $x = 0$ и $x = -1$ — выколотые.

Определим знаки. Пробная точка $x=3$: $\frac{(+)^2(+)}{(+)^5(+)^4} > 0$. Знаки на интервалах (справа налево): - $[2, \infty)$: + - $(0, 2]$: - (меняем знак, $x=2$ нечетной кратности) - $(-0.5, 0)$: + (меняем знак, $x=0$ нечетной кратности) - $(-1, -0.5]$: + (не меняем знак, $x=-0.5$ четной кратности) - $(-\infty, -1)$: + (не меняем знак, $x=-1$ четной кратности)

Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$. Выбираем интервалы со знаком "+" и закрашенные точки. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, -0.5]$, $[-0.5, 0)$, $[2, \infty)$. Объединяя смежные интервалы, получаем $(-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [2, \infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x^2 - 5x + 6} > 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x^2 - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3)$. Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)} > 0$.

ОДЗ: $(x - 2)(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq 3$.

При $x \neq 3$ можно сократить дробь на $(x - 3)$. Получим эквивалентное неравенство с учетом ОДЗ: $\frac{x(x - 1)}{x - 2} > 0$ при $x \neq 3$.

Решаем неравенство $\frac{x(x - 1)}{x - 2} > 0$ методом интервалов. Нули: $x = 0, x = 1, x = 2$. Все корни нечетной кратности, все точки выколотые (неравенство строгое).

Определим знаки. Пробная точка $x=4$: $\frac{4(4-1)}{4-2} > 0$. Знаки на интервалах: $(-\infty, 0): -$; $(0, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "+": $(0, 1) \cup (2, \infty)$. Теперь учтем ОДЗ $x \neq 3$. Точка 3 попадает в интервал $(2, \infty)$, поэтому мы должны ее "выколоть".

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$.