Страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.15. Решите неравенство:

1) $\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)} < 0;$

2) $\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)} \le 0;$

3) $\frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)^2} \le 0;$

4) $\frac{x-5}{(x+2)(x-3)^2} < 0;$

5) $\frac{(2x+1)^2(x-2)}{x^5(x+1)^4} \ge 0;$

6) $\frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x^2 - 5x + 6} > 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x + 3)^2}{(x + 2)(x - 5)} < 0$ методом интервалов.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю. $(x + 2)(x - 5) \neq 0$, откуда $x \neq -2$ и $x \neq 5$.

Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $(x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3$. Корень имеет кратность 2 (четная), значит, при переходе через эту точку знак выражения меняться не будет. Нули знаменателя: $(x + 2)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 5$. Оба корня имеют кратность 1 (нечетная), при переходе через них знак будет меняться.

Отметим точки -3, -2, 5 на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), все точки будут выколотыми.

Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(5, \infty)$, например $x = 6$:
$\frac{(6 + 3)^2}{(6 + 2)(6 - 5)} = \frac{9^2}{8 \cdot 1} > 0$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки с учетом кратности корней:
- Интервал $(5, \infty)$: +
- Интервал $(-2, 5)$: - (знак меняется, т.к. кратность корня $x=5$ нечетная)
- Интервал $(-3, -2)$: + (знак меняется, т.к. кратность корня $x=-2$ нечетная)
- Интервал $(-\infty, -3)$: + (знак не меняется, т.к. кратность корня $x=-3$ четная)

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть выбираем интервал со знаком "-". Это интервал $(-2, 5)$.

Ответ: $x \in (-2, 5)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x + 3)^2}{(x + 2)(x - 5)} \le 0$.

Это неравенство отличается от предыдущего только знаком (нестрогое). Используем те же точки и знаки на интервалах. ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 5$. Нули: $x = -3$ (четная кратность), $x = -2$ (нечетная), $x = 5$ (нечетная).

Так как неравенство нестрогое ($\le$), нуль числителя $x = -3$ является решением, если он входит в ОДЗ. Он входит. Нули знаменателя $x = -2$ и $x = 5$ по-прежнему исключаются.

Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -2): +$; $(-2, 5): -$; $(5, \infty): +$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. - Меньше нуля на интервале $(-2, 5)$. - Равно нулю при $x = -3$.

Объединяем эти решения.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup (-2, 5)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x + 2)(x - 5)}{(x - 3)^2} \le 0$.

ОДЗ: $(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Нули числителя: $(x + 2)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 5$. Кратность 1 (нечетная). Нуль знаменателя: $(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$. Кратность 2 (четная).

Отметим точки на оси. $x = -2$ и $x = 5$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а $x = 3$ — выколотой (ОДЗ).

Определим знаки. Пробная точка $x=6$: $\frac{(6+2)(6-5)}{(6-3)^2} > 0$. Знаки на интервалах: $(-\infty, -2]: +$; $[-2, 3): -$; $(3, 5]: -$; $[5, \infty): +$. Знак не меняется при переходе через $x=3$ (четная кратность).

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервалов $[-2, 3)$ и $(3, 5]$.

Ответ: $x \in [-2, 3) \cup (3, 5]$.

4) Решим неравенство $\frac{x - 5}{(x + 2)(x - 3)^2} < 0$.

ОДЗ: $(x + 2)(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2, x \neq 3$.

Нуль числителя: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ (кратность 1, нечетная). Нули знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (кратность 1, нечетная); $(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (кратность 2, четная).

Отметим точки на оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знаки. Пробная точка $x=6$: $\frac{6-5}{(6+2)(6-3)^2} > 0$. Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 3): -$; $(3, 5): -$; $(5, \infty): +$. Знак не меняется при переходе через $x=3$ (четная кратность).

Выбираем интервалы со знаком "-". Это $(-2, 3)$ и $(3, 5)$.

Ответ: $x \in (-2, 3) \cup (3, 5)$.

5) Решим неравенство $\frac{(2x + 1)^2 (x - 2)}{x^5 (x + 1)^4} \ge 0$.

ОДЗ: $x^5 (x + 1)^4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -1$.

Нули числителя: $(2x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -0.5$ (кратность 2, четная); $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (кратность 1, нечетная). Нули знаменателя: $x^5 = 0 \Rightarrow x = 0$ (кратность 5, нечетная); $(x + 1)^4 = 0 \Rightarrow x = -1$ (кратность 4, четная).

Отметим точки на оси. $x = -0.5$ и $x = 2$ — закрашенные; $x = 0$ и $x = -1$ — выколотые.

Определим знаки. Пробная точка $x=3$: $\frac{(+)^2(+)}{(+)^5(+)^4} > 0$. Знаки на интервалах (справа налево): - $[2, \infty)$: + - $(0, 2]$: - (меняем знак, $x=2$ нечетной кратности) - $(-0.5, 0)$: + (меняем знак, $x=0$ нечетной кратности) - $(-1, -0.5]$: + (не меняем знак, $x=-0.5$ четной кратности) - $(-\infty, -1)$: + (не меняем знак, $x=-1$ четной кратности)

Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$. Выбираем интервалы со знаком "+" и закрашенные точки. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, -0.5]$, $[-0.5, 0)$, $[2, \infty)$. Объединяя смежные интервалы, получаем $(-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [2, \infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x^2 - 5x + 6} > 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x^2 - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3)$. Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)} > 0$.

ОДЗ: $(x - 2)(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq 3$.

При $x \neq 3$ можно сократить дробь на $(x - 3)$. Получим эквивалентное неравенство с учетом ОДЗ: $\frac{x(x - 1)}{x - 2} > 0$ при $x \neq 3$.

Решаем неравенство $\frac{x(x - 1)}{x - 2} > 0$ методом интервалов. Нули: $x = 0, x = 1, x = 2$. Все корни нечетной кратности, все точки выколотые (неравенство строгое).

Определим знаки. Пробная точка $x=4$: $\frac{4(4-1)}{4-2} > 0$. Знаки на интервалах: $(-\infty, 0): -$; $(0, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "+": $(0, 1) \cup (2, \infty)$. Теперь учтем ОДЗ $x \neq 3$. Точка 3 попадает в интервал $(2, \infty)$, поэтому мы должны ее "выколоть".

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$.

42.16. Найдите множество решений неравенства:

1) $ \frac{(x^2 - 9)\sqrt{2 - x}}{2x + 3} \ge 0; $

2) $ \frac{(x+1)^2\sqrt{x+3}}{16 - x^2} \le 0. $

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 9)\sqrt{2 - x}}{2x + 3} \ge 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

$2x + 3 \ne 0 \implies x \ne -1.5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, 2]$.

Для решения неравенства применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя, которые принадлежат ОДЗ.

Нули числителя: $(x^2 - 9)\sqrt{2 - x} = 0$. Отсюда либо $x^2 - 9 = 0$, либо $\sqrt{2 - x} = 0$.

Из $x^2 - 9 = 0$ получаем $x = 3$ и $x = -3$. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ ($3 > 2$), а $x = -3$ входит.

Из $\sqrt{2 - x} = 0$ получаем $x = 2$. Этот корень входит в ОДЗ.

Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies x = -1.5$.

Отметим на числовой прямой точки $-3, -1.5, 2$ и определим знаки выражения на получившихся интервалах, учитывая ОДЗ ($x \le 2$). Точка $x=-1.5$ будет выколотой, а точки $x=-3$ и $x=2$ — закрашенными.

• Интервал $(-\infty, -3)$: Возьмем $x=-4$. Знак выражения $\frac{(+)\cdot(+)}{(-)} < 0$. Не подходит.
• Интервал $(-3, -1.5)$: Возьмем $x=-2$. Знак выражения $\frac{(-)\cdot(+)}{(-)} > 0$. Подходит.
• Интервал $(-1.5, 2)$: Возьмем $x=0$. Знак выражения $\frac{(-)\cdot(+)}{(+)} < 0$. Не подходит.

Теперь проверим точки, в которых выражение может обращаться в ноль, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$).

При $x = -3$ числитель равен 0, знаменатель не равен 0. Выражение равно 0, что удовлетворяет неравенству. Значит, $x = -3$ является решением.

При $x = 2$ числитель равен 0, знаменатель не равен 0. Выражение равно 0, что удовлетворяет неравенству. Значит, $x = 2$ является решением.

Объединяем полученные результаты: интервал $(-3, -1.5)$ и точки $-3$ и $2$.

Ответ: $[-3, -1.5) \cup \{2\}$.

Решим неравенство $\frac{(x+1)^2 \sqrt{x+3}}{16-x^2} \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

$16 - x^2 \ne 0 \implies x^2 \ne 16 \implies x \ne 4$ и $x \ne -4$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-3, 4) \cup (4, \infty)$.

Заметим, что числитель $(x+1)^2 \sqrt{x+3}$ всегда неотрицателен в области ОДЗ. Он равен нулю при $x=-1$ и $x=-3$.

Неравенство вида $\frac{A}{B} \le 0$, где $A \ge 0$, выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна 0. Это возможно, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля. $A=0$.

$(x+1)^2 \sqrt{x+3} = 0$ при $x=-1$ или $x=-3$. Обе эти точки принадлежат ОДЗ и не обращают знаменатель в ноль. Следовательно, $x=-1$ и $x=-3$ являются решениями.

2. Дробь отрицательна. Это возможно, когда числитель положителен ($A > 0$), а знаменатель отрицателен ($B < 0$).

Числитель $(x+1)^2 \sqrt{x+3} > 0$ при $x > -3$ и $x \ne -1$.

Знаменатель $16 - x^2 < 0 \implies x^2 > 16 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение этих условий: нам нужны $x$, которые одновременно удовлетворяют ($x > -3$ и $x \ne -1$) и ($x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$).

Пересечение с интервалом $(-\infty, -4)$ пустое. Пересечение с интервалом $(4, \infty)$ дает $(4, \infty)$.

Итак, решениями для строгого неравенства являются $x \in (4, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\{-3, -1\} \cup (4, \infty)$.

42.17. Найдите значение выражения:

1) $4(-\sqrt{5})^7 - 0.6\sqrt[3]{1000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[4]{640}\right)^4$;

2) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}} \cdot \sqrt[5]{-\frac{32}{243}} + (-3\sqrt[3]{6})^3$;

3) $\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}} + \sqrt[6]{3^4 \cdot 7} \cdot \sqrt[6]{3^2 \cdot 7^5}$;

4) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$;

5) $\sqrt{4 + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[4]{23 - 8\sqrt{7}}$;

6) $\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{12} + \sqrt{2}}$.

1) $4(-\sqrt[7]{5})^7 - 0,6\sqrt[3]{1000} + (\frac{1}{2}\sqrt[4]{640})^4$

Решим по частям, вычисляя значение каждого слагаемого.

Первое слагаемое: $4(-\sqrt[7]{5})^7$. Так как степень нечетная, минус можно вынести за скобку. Корень седьмой степени и возведение в седьмую степень — взаимообратные операции.
$4(-\sqrt[7]{5})^7 = 4 \cdot (-1)^7 \cdot (\sqrt[7]{5})^7 = 4 \cdot (-1) \cdot 5 = -20$.

Второе слагаемое: $-0,6\sqrt[3]{1000}$. Знаем, что $1000 = 10^3$.
$-0,6\sqrt[3]{1000} = -0,6 \cdot \sqrt[3]{10^3} = -0,6 \cdot 10 = -6$.

Третье слагаемое: $(\frac{1}{2}\sqrt[4]{640})^4$. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{2}\sqrt[4]{640})^4 = (\frac{1}{2})^4 \cdot (\sqrt[4]{640})^4 = \frac{1}{16} \cdot 640 = \frac{640}{16} = 40$.

Теперь сложим полученные значения:
$-20 - 6 + 40 = -26 + 40 = 14$.

Ответ: $14$.

2) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}} \cdot \sqrt[5]{-\frac{32}{243}} + (-3\sqrt[3]{6})^3$

Вычислим значение каждого члена выражения.

Первый множитель: $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^4} = \frac{3}{2}$.

Второй множитель: $\sqrt[5]{-\frac{32}{243}}$. Так как корень нечетной степени, минус можно вынести. $32=2^5$ и $243=3^5$.
$\sqrt[5]{-\frac{32}{243}} = \sqrt[5]{-(\frac{2}{3})^5} = -\frac{2}{3}$.

Третий член: $(-3\sqrt[3]{6})^3$.
$(-3\sqrt[3]{6})^3 = (-3)^3 \cdot (\sqrt[3]{6})^3 = -27 \cdot 6 = -162$.

Подставим значения в исходное выражение:
$\frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) + (-162) = -1 - 162 = -163$.

Ответ: $-163$.

3) $\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}} + \sqrt[6]{3^4 \cdot 7} \cdot \sqrt[6]{3^2 \cdot 7^5}$

Упростим каждое слагаемое.

Первое слагаемое: $\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}}$. Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}} = \sqrt[5]{\frac{2}{486}} = \sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \sqrt[5]{(\frac{1}{3})^5} = \frac{1}{3}$.

Второе слагаемое: $\sqrt[6]{3^4 \cdot 7} \cdot \sqrt[6]{3^2 \cdot 7^5}$. Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[6]{(3^4 \cdot 7) \cdot (3^2 \cdot 7^5)} = \sqrt[6]{3^{4+2} \cdot 7^{1+5}} = \sqrt[6]{3^6 \cdot 7^6} = \sqrt[6]{(3 \cdot 7)^6} = 21$.

Сложим полученные значения:
$\frac{1}{3} + 21 = 21\frac{1}{3}$.

Ответ: $21\frac{1}{3}$.

4) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[3]{(10 + \sqrt{73})(10 - \sqrt{73})}$.

Внутри корня находится выражение вида $(a+b)(a-b)$, которое равно $a^2-b^2$.
$\sqrt[3]{10^2 - (\sqrt{73})^2} = \sqrt[3]{100 - 73} = \sqrt[3]{27}$.

Вычислим значение корня:
$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: $3$.

5) $\sqrt{4 + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[4]{23 - 8\sqrt{7}}$

Чтобы перемножить корни, приведем их к одному показателю 4. Для этого представим квадратный корень как корень четвертой степени, возведя подкоренное выражение в квадрат:
$\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt[4]{(4 + \sqrt{7})^2}$.

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(4 + \sqrt{7})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 16 + 8\sqrt{7} + 7 = 23 + 8\sqrt{7}$.

Теперь исходное выражение имеет вид:
$\sqrt[4]{23 + 8\sqrt{7}} \cdot \sqrt[4]{23 - 8\sqrt{7}}$.

Объединим под один корень и применим формулу разности квадратов:
$\sqrt[4]{(23 + 8\sqrt{7})(23 - 8\sqrt{7})} = \sqrt[4]{23^2 - (8\sqrt{7})^2} = \sqrt[4]{529 - (64 \cdot 7)} = \sqrt[4]{529 - 448} = \sqrt[4]{81}$.

Вычислим значение корня:
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: $3$.

6) $\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{12} + \sqrt{2}}$

В этом выражении, вероятно, есть опечатка во втором множителе. Задачи такого типа обычно решаются с помощью формул сокращенного умножения, что приводит к простому ответу. Текущий вид выражения не упрощается до целого или рационального числа.
Предположим, что во втором множителе $\sqrt[3]{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$ имеется в виду $\sqrt[3]{2 + 2\sqrt{3}}$. Учитывая, что $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$, исправленный множитель будет $\sqrt[3]{2 + \sqrt{12}}$. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное выражение: $\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + \sqrt[4]{12}}$.

Переставим множители и сгруппируем первый и третий:
$(\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + \sqrt[4]{12}}) \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{12}}$.

Применим к первой группе формулу разности квадратов под знаком корня:
$\sqrt[3]{(\sqrt{2} - \sqrt[4]{12})(\sqrt{2} + \sqrt[4]{12})} = \sqrt[3]{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt[4]{12})^2} = \sqrt[3]{2 - \sqrt{12}}$.

Теперь все выражение принимает вид:
$\sqrt[3]{2 - \sqrt{12}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{12}}$.

Снова применим ту же логику:
$\sqrt[3]{(2 - \sqrt{12})(2 + \sqrt{12})} = \sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{12})^2} = \sqrt[3]{4 - 12} = \sqrt[3]{-8}$.

Вычисляем конечный результат:
$\sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ: $-2$.

42.18. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{3x - 5};$

2) $y = \sqrt[6]{-x};$

3) $y = \sqrt[5]{x - 4};$

4) $y = \sqrt[8]{6x - x^2}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt[4]{3x - 5}$ находится из условия, что выражение под корнем четной степени (в данном случае 4-й) должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$3x - 5 \ge 0$
Перенесем 5 в правую часть:
$3x \ge 5$
Разделим обе части на 3:
$x \ge \frac{5}{3}$
Таким образом, область определения функции — это числовой промежуток $[\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $[\frac{5}{3}; +\infty)$.

2) Функция $y = \sqrt[6]{-x}$ содержит корень четной степени (6-й степени). Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-x \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 0$
Область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; 0]$.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

3) Функция $y = \sqrt[5]{x - 4}$ содержит корень нечетной степени (5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения, так как можно извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа.
Поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Область определения функции — множество всех действительных чисел, $\mathbb{R}$, что в виде промежутка записывается как $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = \sqrt[8]{6x - x^2}$ содержит корень четной степени (8-й степени). Значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим квадратное неравенство:
$6x - x^2 \ge 0$
Для решения найдем нули функции $f(x) = 6x - x^2$, решив уравнение:
$6x - x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6 - x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $6 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 6$.
Графиком функции $f(x) = 6x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен: -1). Такая парабола принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$) на отрезке между своими корнями.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $[0; 6]$.
Ответ: $[0; 6]$.

42.19. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[6]{a^6} $, если $ a \ge 0 $ ;
2) $ \sqrt[4]{b^4} $, если $ b \le 0 $ ;
3) $ \sqrt[7]{c^7} $ ;
4) $ \sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4} $, если $ n \le 0, p \ge 0 $ ;
5) $ 1,4x \sqrt[8]{256x^{24}} $, если $ x \le 0 $ ;
6) $ \frac{\sqrt[12]{a^{12}b^{24}c^{36}}}{abc} $, если $ a < 0, c < 0 $.

1) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В данном случае показатель корня 6 является четным числом.
$\sqrt[6]{a^6} = |a|$.
По условию задано, что $a \ge 0$. Для неотрицательных чисел модуль числа равен самому числу, то есть $|a| = a$.
Ответ: $a$.

2) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Показатель корня 4 является четным.
$\sqrt[4]{b^4} = |b|$.
По условию задано, что $b \le 0$. Для неположительных чисел модуль числа равен противоположному ему числу, то есть $|b| = -b$.
Ответ: $-b$.

3) Используем свойство корня нечетной степени: $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$. Показатель корня 7 является нечетным.
$\sqrt[7]{c^7} = c$.
Ответ: $c$.

4) Сначала представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых возведен в четвертую степень.
$81 = 3^4$
$m^8 = (m^2)^4$
$n^{20} = (n^5)^4$
Таким образом, выражение под корнем равно $3^4 \cdot (m^2)^4 \cdot (n^5)^4 \cdot p^4$.
$\sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4} = \sqrt[4]{3^4 (m^2)^4 (n^5)^4 p^4} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^5)^4} \cdot \sqrt[4]{p^4}$.
Поскольку показатель корня 4 — четный, применяем правило $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$:
$|3| \cdot |m^2| \cdot |n^5| \cdot |p|$.
Теперь раскроем модули с учетом данных условий $n \le 0, p \ge 0$:
$|3| = 3$.
$m^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|m^2| = m^2$.
Если $n \le 0$, то $n^5$ также будет неположительным ($n^5 \le 0$), поэтому $|n^5| = -n^5$.
Если $p \ge 0$, то $|p| = p$.
Перемножаем полученные выражения: $3 \cdot m^2 \cdot (-n^5) \cdot p = -3m^2n^5p$.
Ответ: $-3m^2n^5p$.

5) Упростим выражение под корнем. Представим его в виде степени с показателем 8.
$256 = 2^8$
$x^{24} = (x^3)^8$
Получаем: $1,4x \sqrt[8]{2^8(x^3)^8} = 1,4x \sqrt[8]{(2x^3)^8}$.
Показатель корня 8 — четный, поэтому $\sqrt[8]{(2x^3)^8} = |2x^3| = 2|x^3|$.
По условию $x \le 0$, значит $x^3 \le 0$, и поэтому $|x^3| = -x^3$.
Тогда корень упрощается до $2(-x^3) = -2x^3$.
Теперь умножим это на множитель перед корнем:
$1,4x \cdot (-2x^3) = -2,8x^{1+3} = -2,8x^4$.
Ответ: $-2,8x^4$.

6) Упростим числитель дроби. Представим множители под корнем в виде степеней с показателем 12.
$b^{24} = (b^2)^{12}$
$c^{36} = (c^3)^{12}$
$\sqrt[12]{a^{12}b^{24}c^{36}} = \sqrt[12]{a^{12} \cdot (b^2)^{12} \cdot (c^3)^{12}}$.
Поскольку показатель корня 12 — четный, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$:
$\sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{(b^2)^{12}} \cdot \sqrt[12]{(c^3)^{12}} = |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3|$.
Раскроем модули с учетом условий $a < 0, c < 0$:
Если $a < 0$, то $|a| = -a$.
$b^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^2| = b^2$.
Если $c < 0$, то $c^3 < 0$, поэтому $|c^3| = -c^3$.
Таким образом, числитель равен: $(-a) \cdot b^2 \cdot (-c^3) = ab^2c^3$.
Подставим полученное выражение в дробь и выполним сокращение (знаменатель $abc$ подразумевает, что $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$):
$\frac{ab^2c^3}{abc} = a^{1-1}b^{2-1}c^{3-1} = a^0b^1c^2 = bc^2$.
Ответ: $bc^2$.

42.20. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[7]{x-2})^7;$

2) $y = \sqrt[7]{(x-2)^7};$

3) $y = (\sqrt[8]{x-2})^8;$

4) $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}.$

1) $y = (\sqrt[7]{x - 2})^7$

Область определения функции. Корень нечетной степени (7-й) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Таким образом, выражение $x-2$ может быть любым действительным числом, и область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Применяя это тождество к нашей функции, где $a = x-2$ и $n=7$, получаем: $y = x-2$. Графиком функции $y = x-2$ является прямая линия.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x-2$.

2) $y = \sqrt[7]{(x - 2)^7}$

Область определения функции. Выражение $(x-2)^7$ определено для любого действительного $x$. Корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. Применяя это тождество, где $a = x-2$ и $n=7$, получаем: $y = x-2$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x-2$, которая совпадает с графиком из пункта 1.

3) $y = (\sqrt[8]{x - 2})^8$

Область определения функции. Корень четной степени (8-й) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должно выполняться условие $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$. На этой области определения для $a=x-2 \ge 0$ и четного $n=8$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Таким образом, функция упрощается до $y = x-2$ при условии $x \ge 2$. Графиком функции является часть прямой $y=x-2$, а именно луч, выходящий из точки, где $x=2$. Начальная точка луча: при $x=2$, $y = 2-2 = 0$, то есть точка (2, 0).

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x-2$ с началом в точке (2, 0).

4) $y = \sqrt[8]{(x - 2)^8}$

Область определения функции. Выражение $(x-2)^8$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, так как любое число в четной степени неотрицательно. Корень четной степени из неотрицательного числа определен. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $a$ и четного натурального числа $n > 1$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Применяя это тождество к нашей функции, где $a = x-2$ и $n=8$, получаем: $y = |x-2|$. График функции $y = |x-2|$ имеет "V"-образную форму с вершиной в точке, где подмодульное выражение равно нулю: $x-2=0 \implies x=2$. Координаты вершины: (2, 0). График состоит из двух лучей: - $y = x-2$ при $x-2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$. - $y = -(x-2) = -x+2$ при $x-2 < 0$, то есть при $x < 2$.

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: $y = x-2$ при $x \ge 2$ и $y = -x+2$ при $x < 2$. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке (2, 0).