Номер 42.17, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.17. Найдите значение выражения:

1) $4(-\sqrt{5})^7 - 0.6\sqrt[3]{1000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[4]{640}\right)^4$;

2) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}} \cdot \sqrt[5]{-\frac{32}{243}} + (-3\sqrt[3]{6})^3$;

3) $\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}} + \sqrt[6]{3^4 \cdot 7} \cdot \sqrt[6]{3^2 \cdot 7^5}$;

4) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$;

5) $\sqrt{4 + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[4]{23 - 8\sqrt{7}}$;

6) $\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{12} + \sqrt{2}}$.

1) $4(-\sqrt[7]{5})^7 - 0,6\sqrt[3]{1000} + (\frac{1}{2}\sqrt[4]{640})^4$

Решим по частям, вычисляя значение каждого слагаемого.

Первое слагаемое: $4(-\sqrt[7]{5})^7$. Так как степень нечетная, минус можно вынести за скобку. Корень седьмой степени и возведение в седьмую степень — взаимообратные операции.
$4(-\sqrt[7]{5})^7 = 4 \cdot (-1)^7 \cdot (\sqrt[7]{5})^7 = 4 \cdot (-1) \cdot 5 = -20$.

Второе слагаемое: $-0,6\sqrt[3]{1000}$. Знаем, что $1000 = 10^3$.
$-0,6\sqrt[3]{1000} = -0,6 \cdot \sqrt[3]{10^3} = -0,6 \cdot 10 = -6$.

Третье слагаемое: $(\frac{1}{2}\sqrt[4]{640})^4$. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{2}\sqrt[4]{640})^4 = (\frac{1}{2})^4 \cdot (\sqrt[4]{640})^4 = \frac{1}{16} \cdot 640 = \frac{640}{16} = 40$.

Теперь сложим полученные значения:
$-20 - 6 + 40 = -26 + 40 = 14$.

Ответ: $14$.

2) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}} \cdot \sqrt[5]{-\frac{32}{243}} + (-3\sqrt[3]{6})^3$

Вычислим значение каждого члена выражения.

Первый множитель: $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^4} = \frac{3}{2}$.

Второй множитель: $\sqrt[5]{-\frac{32}{243}}$. Так как корень нечетной степени, минус можно вынести. $32=2^5$ и $243=3^5$.
$\sqrt[5]{-\frac{32}{243}} = \sqrt[5]{-(\frac{2}{3})^5} = -\frac{2}{3}$.

Третий член: $(-3\sqrt[3]{6})^3$.
$(-3\sqrt[3]{6})^3 = (-3)^3 \cdot (\sqrt[3]{6})^3 = -27 \cdot 6 = -162$.

Подставим значения в исходное выражение:
$\frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) + (-162) = -1 - 162 = -163$.

Ответ: $-163$.

3) $\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}} + \sqrt[6]{3^4 \cdot 7} \cdot \sqrt[6]{3^2 \cdot 7^5}$

Упростим каждое слагаемое.

Первое слагаемое: $\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}}$. Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{486}} = \sqrt[5]{\frac{2}{486}} = \sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \sqrt[5]{(\frac{1}{3})^5} = \frac{1}{3}$.

Второе слагаемое: $\sqrt[6]{3^4 \cdot 7} \cdot \sqrt[6]{3^2 \cdot 7^5}$. Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[6]{(3^4 \cdot 7) \cdot (3^2 \cdot 7^5)} = \sqrt[6]{3^{4+2} \cdot 7^{1+5}} = \sqrt[6]{3^6 \cdot 7^6} = \sqrt[6]{(3 \cdot 7)^6} = 21$.

Сложим полученные значения:
$\frac{1}{3} + 21 = 21\frac{1}{3}$.

Ответ: $21\frac{1}{3}$.

4) $\sqrt[3]{10 + \sqrt{73}} \cdot \sqrt[3]{10 - \sqrt{73}}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[3]{(10 + \sqrt{73})(10 - \sqrt{73})}$.

Внутри корня находится выражение вида $(a+b)(a-b)$, которое равно $a^2-b^2$.
$\sqrt[3]{10^2 - (\sqrt{73})^2} = \sqrt[3]{100 - 73} = \sqrt[3]{27}$.

Вычислим значение корня:
$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: $3$.

5) $\sqrt{4 + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[4]{23 - 8\sqrt{7}}$

Чтобы перемножить корни, приведем их к одному показателю 4. Для этого представим квадратный корень как корень четвертой степени, возведя подкоренное выражение в квадрат:
$\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt[4]{(4 + \sqrt{7})^2}$.

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(4 + \sqrt{7})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 16 + 8\sqrt{7} + 7 = 23 + 8\sqrt{7}$.

Теперь исходное выражение имеет вид:
$\sqrt[4]{23 + 8\sqrt{7}} \cdot \sqrt[4]{23 - 8\sqrt{7}}$.

Объединим под один корень и применим формулу разности квадратов:
$\sqrt[4]{(23 + 8\sqrt{7})(23 - 8\sqrt{7})} = \sqrt[4]{23^2 - (8\sqrt{7})^2} = \sqrt[4]{529 - (64 \cdot 7)} = \sqrt[4]{529 - 448} = \sqrt[4]{81}$.

Вычислим значение корня:
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: $3$.

6) $\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{12} + \sqrt{2}}$

В этом выражении, вероятно, есть опечатка во втором множителе. Задачи такого типа обычно решаются с помощью формул сокращенного умножения, что приводит к простому ответу. Текущий вид выражения не упрощается до целого или рационального числа.
Предположим, что во втором множителе $\sqrt[3]{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$ имеется в виду $\sqrt[3]{2 + 2\sqrt{3}}$. Учитывая, что $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$, исправленный множитель будет $\sqrt[3]{2 + \sqrt{12}}$. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное выражение: $\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + \sqrt[4]{12}}$.

Переставим множители и сгруппируем первый и третий:
$(\sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} + \sqrt[4]{12}}) \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{12}}$.

Применим к первой группе формулу разности квадратов под знаком корня:
$\sqrt[3]{(\sqrt{2} - \sqrt[4]{12})(\sqrt{2} + \sqrt[4]{12})} = \sqrt[3]{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt[4]{12})^2} = \sqrt[3]{2 - \sqrt{12}}$.

Теперь все выражение принимает вид:
$\sqrt[3]{2 - \sqrt{12}} \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{12}}$.

Снова применим ту же логику:
$\sqrt[3]{(2 - \sqrt{12})(2 + \sqrt{12})} = \sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{12})^2} = \sqrt[3]{4 - 12} = \sqrt[3]{-8}$.

Вычисляем конечный результат:
$\sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ: $-2$.