Номер 42.19, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.19. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[6]{a^6} $, если $ a \ge 0 $ ;
2) $ \sqrt[4]{b^4} $, если $ b \le 0 $ ;
3) $ \sqrt[7]{c^7} $ ;
4) $ \sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4} $, если $ n \le 0, p \ge 0 $ ;
5) $ 1,4x \sqrt[8]{256x^{24}} $, если $ x \le 0 $ ;
6) $ \frac{\sqrt[12]{a^{12}b^{24}c^{36}}}{abc} $, если $ a < 0, c < 0 $.

1) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В данном случае показатель корня 6 является четным числом.
$\sqrt[6]{a^6} = |a|$.
По условию задано, что $a \ge 0$. Для неотрицательных чисел модуль числа равен самому числу, то есть $|a| = a$.
Ответ: $a$.

2) Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Показатель корня 4 является четным.
$\sqrt[4]{b^4} = |b|$.
По условию задано, что $b \le 0$. Для неположительных чисел модуль числа равен противоположному ему числу, то есть $|b| = -b$.
Ответ: $-b$.

3) Используем свойство корня нечетной степени: $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$. Показатель корня 7 является нечетным.
$\sqrt[7]{c^7} = c$.
Ответ: $c$.

4) Сначала представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых возведен в четвертую степень.
$81 = 3^4$
$m^8 = (m^2)^4$
$n^{20} = (n^5)^4$
Таким образом, выражение под корнем равно $3^4 \cdot (m^2)^4 \cdot (n^5)^4 \cdot p^4$.
$\sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4} = \sqrt[4]{3^4 (m^2)^4 (n^5)^4 p^4} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^5)^4} \cdot \sqrt[4]{p^4}$.
Поскольку показатель корня 4 — четный, применяем правило $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$:
$|3| \cdot |m^2| \cdot |n^5| \cdot |p|$.
Теперь раскроем модули с учетом данных условий $n \le 0, p \ge 0$:
$|3| = 3$.
$m^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|m^2| = m^2$.
Если $n \le 0$, то $n^5$ также будет неположительным ($n^5 \le 0$), поэтому $|n^5| = -n^5$.
Если $p \ge 0$, то $|p| = p$.
Перемножаем полученные выражения: $3 \cdot m^2 \cdot (-n^5) \cdot p = -3m^2n^5p$.
Ответ: $-3m^2n^5p$.

5) Упростим выражение под корнем. Представим его в виде степени с показателем 8.
$256 = 2^8$
$x^{24} = (x^3)^8$
Получаем: $1,4x \sqrt[8]{2^8(x^3)^8} = 1,4x \sqrt[8]{(2x^3)^8}$.
Показатель корня 8 — четный, поэтому $\sqrt[8]{(2x^3)^8} = |2x^3| = 2|x^3|$.
По условию $x \le 0$, значит $x^3 \le 0$, и поэтому $|x^3| = -x^3$.
Тогда корень упрощается до $2(-x^3) = -2x^3$.
Теперь умножим это на множитель перед корнем:
$1,4x \cdot (-2x^3) = -2,8x^{1+3} = -2,8x^4$.
Ответ: $-2,8x^4$.

6) Упростим числитель дроби. Представим множители под корнем в виде степеней с показателем 12.
$b^{24} = (b^2)^{12}$
$c^{36} = (c^3)^{12}$
$\sqrt[12]{a^{12}b^{24}c^{36}} = \sqrt[12]{a^{12} \cdot (b^2)^{12} \cdot (c^3)^{12}}$.
Поскольку показатель корня 12 — четный, используем свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$:
$\sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{(b^2)^{12}} \cdot \sqrt[12]{(c^3)^{12}} = |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3|$.
Раскроем модули с учетом условий $a < 0, c < 0$:
Если $a < 0$, то $|a| = -a$.
$b^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^2| = b^2$.
Если $c < 0$, то $c^3 < 0$, поэтому $|c^3| = -c^3$.
Таким образом, числитель равен: $(-a) \cdot b^2 \cdot (-c^3) = ab^2c^3$.
Подставим полученное выражение в дробь и выполним сокращение (знаменатель $abc$ подразумевает, что $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$):
$\frac{ab^2c^3}{abc} = a^{1-1}b^{2-1}c^{3-1} = a^0b^1c^2 = bc^2$.
Ответ: $bc^2$.