Номер 42.26, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.26. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$;

2) $\frac{\sqrt[6]{a}-2}{\sqrt[3]{a}-4}$;

3) $\frac{m-\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt{m}-\sqrt[4]{m}}$;

4) $\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{x-27}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$, представим числитель как разность квадратов, используя свойство корней $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$.

Числитель: $\sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ge 0, b \ge 0$).

Ответ: $\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[6]{a}-2}{\sqrt[3]{a}-4}$, представим знаменатель как разность квадратов.

Заметим, что $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$ и $4 = 2^2$.

Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, разложим знаменатель на множители:

$\sqrt[3]{a}-4 = (\sqrt[6]{a})^2 - 2^2 = (\sqrt[6]{a}-2)(\sqrt[6]{a}+2)$.

Подставим разложенное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt[6]{a}-2}{(\sqrt[6]{a}-2)(\sqrt[6]{a}+2)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[6]{a}-2)$ (при условии $a \ge 0$ и $a \neq 64$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a}+2}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{m-\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt{m}-\sqrt[4]{m}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем за скобки $\sqrt[4]{m^3}$:

$m-\sqrt[4]{m^3} = (\sqrt[4]{m})^4 - (\sqrt[4]{m})^3 = (\sqrt[4]{m})^3(\sqrt[4]{m}-1) = \sqrt[4]{m^3}(\sqrt[4]{m}-1)$.

В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt[4]{m}$:

$\sqrt{m}-\sqrt[4]{m} = (\sqrt[4]{m})^2 - \sqrt[4]{m} = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{m^3}(\sqrt[4]{m}-1)}{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{m}-1)$ (при $m>0, m \neq 1$).

$\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[4]{\frac{m^3}{m}} = \sqrt[4]{m^2} = \sqrt{m}$.

Ответ: $\sqrt{m}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{x-27}$, разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $x-27$ представляет собой разность кубов, так как $x = (\sqrt[3]{x})^3$ и $27 = 3^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x-27 = (\sqrt[3]{x})^3 - 3^3 = (\sqrt[3]{x}-3)((\sqrt[3]{x})^2 + 3\sqrt[3]{x} + 3^2) = (\sqrt[3]{x}-3)(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9)$.

Подставим это разложение в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{(\sqrt[3]{x}-3)(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9)$, который является неполным квадратом суммы и всегда отличен от нуля. Сокращение возможно при $x \neq 27$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}-3}$.