Номер 42.32, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.32. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 18;$

3) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} + 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0;$

4) $\frac{4 - x}{2 + \sqrt{x}} = 8 - x;$

5) $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 3}} - 6\sqrt{\frac{x - 3}{x + 3}} + 1 = 0;$

6) $\sqrt{\frac{x}{1 + x}} + \sqrt{\frac{1 + x}{x}} = \frac{5}{2};$

7) $x^2 - 4x - \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 3;$

8) $5\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x^2 + 6x + 1.$

1) $ \sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$ t^2 - 4t - 5 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается $t = 5$.

Вернемся к исходной переменной:

$ \sqrt[4]{x} = 5 $

Возведем обе части в четвертую степень:

$ x = 5^4 = 625 $

Корень $x = 625$ удовлетворяет ОДЗ ($625 \ge 0$).

Ответ: $625$.

2) $ \sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 18 $

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[6]{x})^2 = \sqrt[3]{x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$ t^2 + 3t = 18 $

$ t^2 + 3t - 18 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3+9}{2} = 3$ и $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3-9}{2} = -6$.

По условию $t \ge 0$, поэтому корень $t_2 = -6$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 3$:

$ \sqrt[6]{x} = 3 $

$ x = 3^6 = 729 $

Корень $x = 729$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $729$.

3) $ \sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} + 2\sqrt[3]{x-2} - 3 = 0 $

Так как кубический корень определен для любых действительных чисел, ОДЗ - все действительные числа.

Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Перепишем уравнение:

$ \sqrt[3]{(x-2)^2} + 2\sqrt[3]{x-2} - 3 = 0 $

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{x-2}$. Тогда $t^2 = \sqrt[3]{(x-2)^2}$.

Уравнение примет вид:

$ t^2 + 2t - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$ для каждого корня.

1. $ \sqrt[3]{x-2} = 1 \implies x-2 = 1^3 \implies x-2 = 1 \implies x = 3 $.

2. $ \sqrt[3]{x-2} = -3 \implies x-2 = (-3)^3 \implies x-2 = -27 \implies x = -25 $.

Ответ: $-25; 3$.

4) $ \frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x $

ОДЗ: $x \ge 0$. Знаменатель $2+\sqrt{x} \ne 0$ всегда, так как $\sqrt{x} \ge 0$.

Разложим числитель $4-x$ как разность квадратов: $4-x = (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})$.

$ \frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}} = 8-x $

Сократим дробь:

$ 2-\sqrt{x} = 8-x $

$ x - \sqrt{x} - 6 = 0 $

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.

$ t^2 - t - 6 = 0 $

Корни по теореме Виета: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 3$.

$ \sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9 $

Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $9$.

5) $ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} - 6\sqrt{\frac{x-3}{x+3}} + 1 = 0 $

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Это приводит к системе неравенств $\frac{x+3}{x-3} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+3}{x-3}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-3}{x+3}} = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - это значение корня, $t > 0$.

$ t - \frac{6}{t} + 1 = 0 $

Умножим на $t \ne 0$:

$ t^2 + t - 6 = 0 $

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Так как $t>0$, подходит только $t=2$.

$ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} = 2 $

$ \frac{x+3}{x-3} = 4 $

$ x+3 = 4(x-3) \implies x+3 = 4x - 12 \implies 3x = 15 \implies x = 5 $

Проверим ОДЗ: $5 \in (3, \infty)$, корень подходит.

Ответ: $5$.

6) $ \sqrt{\frac{x}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+x}{x}} = \frac{5}{2} $

ОДЗ: $\frac{x}{1+x} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{1+x}}$, где $t > 0$.

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Умножим на $2t \ne 0$:

$ 2t^2 + 2 = 5t \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$. Оба корня положительны.

1. $ \sqrt{\frac{x}{1+x}} = 2 \implies \frac{x}{1+x} = 4 \implies x = 4+4x \implies -3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3} $.

2. $ \sqrt{\frac{x}{1+x}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{1+x} = \frac{1}{4} \implies 4x = 1+x \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} $.

Оба корня ($-\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}; \frac{1}{3}$.

7) $ x^2 - 4x - \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 3 $

ОДЗ: $x^2 - 4x - 1 \ge 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x - 1}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 4x - 1$, откуда $x^2 - 4x = t^2 + 1$.

Подставим в уравнение:

$ (t^2+1) - t = 3 \implies t^2 - t - 2 = 0 $

Корни: $t_1=2$ и $t_2=-1$.

По условию $t \ge 0$, подходит только $t=2$.

$ \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 2 $

$ x^2 - 4x - 1 = 4 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 $

Корни: $x_1=5$ и $x_2=-1$.

Проверим ОДЗ:

Для $x=5$: $5^2 - 4(5) - 1 = 25 - 20 - 1 = 4 \ge 0$. Подходит.

Для $x=-1$: $(-1)^2 - 4(-1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4 \ge 0$. Подходит.

Ответ: $-1; 5$.

8) $ 5\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x^2 + 6x + 1 $

ОДЗ: $x^2 + 3x - 1 \ge 0$.

Преобразуем правую часть: $2x^2 + 6x + 1 = 2(x^2 + 3x) + 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 1}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 1$, откуда $x^2 + 3x = t^2 + 1$.

Подставим в уравнение:

$ 5t = 2(t^2+1) + 1 \implies 5t = 2t^2 + 2 + 1 \implies 2t^2 - 5t + 3 = 0 $

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

Корни: $t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{5-1}{4} = 1$. Оба корня положительны.

1. $ \sqrt{x^2 + 3x - 1} = \frac{3}{2} \implies x^2 + 3x - 1 = \frac{9}{4} \implies 4x^2 + 12x - 4 = 9 \implies 4x^2 + 12x - 13 = 0 $.

$ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(4)(-13)}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{144+208}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{352}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2} $.

2. $ \sqrt{x^2 + 3x - 1} = 1 \implies x^2 + 3x - 1 = 1 \implies x^2 + 3x - 2 = 0 $.

$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} $.

Все четыре найденных значения являются решениями, так как для них выполняется условие $x^2 + 3x - 1 \ge 0$.

Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}; \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}$.