Номер 42.36, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.36. Покажите, что число $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Для того чтобы доказать, что число $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \tan x$, необходимо показать, что не выполняется определение периода функции.

Согласно определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняются два условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения $D(f)$.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то $T$ не является периодом. Проверим, выполняется ли первое условие.

Область определения функции $f(x) = \tan x$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Выберем точку $x_0$, принадлежащую области определения, например, $x_0 = \pi$. В этой точке функция существует, так как $f(\pi) = \tan(\pi) = 0$.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $x_0 + T$ области определения.

$x_0 + T = \pi + (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Точка $x = \frac{\pi}{2}$ не входит в область определения функции $\tan x$, так как в этой точке тангенс не определен.

Поскольку мы нашли значение $x_0 = \pi$ из области определения, для которого значение $x_0 + T$ не принадлежит области определения, первое условие периодичности нарушается. Одного этого факта достаточно, чтобы утверждать, что $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \tan x$.

Для полноты решения можно также проверить и второе условие. Если предположить, что оно выполняется, то для всех $x$, где обе части определены, должно быть верно равенство $f(x+T) = f(x)$, то есть $\tan(x - \frac{\pi}{2}) = \tan x$.

Используя формулы приведения, преобразуем левую часть: $\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$.

Тогда равенство принимает вид $-\cot x = \tan x$. Переходя к синусам и косинусам, получаем $-\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}$, что приводит к равенству $-\cos^2 x = \sin^2 x$, или $\sin^2 x + \cos^2 x = 0$.

Это равенство противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется ни при каких значениях $x$, из чего также следует, что $T$ не является периодом.

Ответ: Число $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \tan x$, так как для $x = \pi$, принадлежащего области определения, значение $x+T = \frac{\pi}{2}$ не принадлежит области определения, что нарушает определение периода функции.